Служил в торговом флоте, а в октябре 1933 года переведен в ВМС офицером по вопросам торговли. 1 января 1934 года поступил на флот фенрихом. 1 января 1936 года произведен в лейтенанты.
В сентябре 1935 года переведен в подводный флот.
С 5 января по 15 октября 1939 года командовал подлодкой U-10, на которой совершил 2 похода (33 суток в море).
С 16 декабря 1939 года — командир подлодки U-64, вывел ее в поход в берегам Норвегии, но через 8 дней — 13 апреля 1940 года — его лодка была потоплена британским гидросамолетом. Большая часть экипажа спаслась.
11 июня 1940 года назначен командиром подлодки U-124 (Тип IX-B), на которой совершил 5 походов (проведя в море в общей сложности 222 суток). Наиболее успешным для Шульца стал его четвертый поход, во время которого он потопил 11 судов общим водоизмещением 52 379 брт.
4 апреля 1941 года награжден Рыцарским крестом Железного креста.
Несколько его вахтенных офицеров (в том числе Рейнхард Хардеген, Вернер Хенке и Йохан Мор) стали асами подводной войны.
С 7 сентября 1941 года командир 6-й флотилии подводных лодок. В октябре 1943 года переведен в штаб командующего подводными учебными флотилиями (штаб-квартира в Готенхафене) 1-м офицером Адмирал-штаба. Одновременно Шульц возглавлял группу по тестированию подлодок, где проходили проверку новые лодки Типов XXI и XXIII.
22 апреля 1945 года назначен командиром 25-й флотилии подводных лодок и оставался во главе ее до конца войны.
Всего за время военных действий Шульц потопил 19 судов общим водоизмещением 89 886 брт. и повредил 1 судно водоизмещением 3900 брт.