Родился 6 июня 1914 года в селе Ровное Пирятинского района Полтавской области УССР в крестьянской семье. Украинец. Учился в школе, затем в Ореховском сельскохозяйственном техникуме, который закончил с красным дипломом (1932 г.). Георгиев свою трудовую деятельность начал в 1932 году в Алтайском крае. Работал агрономом производственного участка села Ракиты Михайловского района, затем участковым и старшим агрономом Степной МТС Михайловского района. В 1938 году А. В. Георгиев был назначен на должность главного агронома Ключевского районного земельного отдела. Возглавляя агрономическую службу Ключевского района в годы Великой Отечественной войны, Георгиев добился перевыполнения районом планов по выращиванию и сдаче зерновых государству. С мая 1943 года до сентября 1944 года был председателем Ключевского райисполкома. Когда он стал председателем Ключевского райисполкома, сам первый секретарь Алтайского крайкома партии Николай Ильич Беляев велел помощникам понаблюдать за ним и подготовить соответствующую объективку. Ознакомившись с подготовленными документами, Беляев решил вопрос о переводе перспективного работника в аппарат крайкома ВКП(б). Узнав, что Георгиев ещё не вступил в партию, Николай Иванович срочно распорядился: - Принять немедля. Поручительство пришлю от себя... лично. Георгиев заочно окончил Всесоюзный сельскохозяйственный институт при Тимирязевской академии. С 1957 по 1961 годы - второй секретарь Алтайского крайкома КПСС. 18 марта 1961 года Александр Васильевич был избран первым секретарем Алтайского крайкома КПСС. На этой должности находился до своей смерти (9 апреля 1976 года). Член ЦК КПСС (31 октября 1961 - 9 апреля 1976 гг.). Делегат ХХI (внеочередного), XXII, XXIII, XXIV и XXV съездов КПСС. Депутат Верховного Совета СССР 6-9 созывов и депутат Верховного Совета РСФСР 5 созыва.
Жена - Георгиева Клавдия Романовна (1916-2002) - школьная учительница. Имел троих дочерей (Галина, Нэлли и Валентина). Увлечением всей жизни было рисование. Несмотря на высокое положение главы семьи, Георгиевы жили достаточно скромно. Знал лично и мог назвать по имени-отчеству всех из нескольких тысяч агрономов края. Интересовался культурой и спортом, дружил с фигуристкой Ириной Родниной, актрисой Нонной Мордюковой, певицей Майей Кристалинской, актером Евгением Матвеевым, которых часто приглашал в край. Не любил алкоголь.
Возглавляя краевую партийную организацию, А. В. Георгиев внес большой вклад в развитие сельского хозяйства края. Именно в эти годы Алтай превратился в одну из крупнейших житниц страны. В 1972 году в Алтайском крае был собран рекордный урожай пшеницы, непривзойдённый до настоящего момента. В 1973 году в Барнауле был открыт Алтайский государственный университет.
В 1977 году именем А.В. Георгиева названа улица в Барнауле.