Родился 28 ноября 1948 года в селе Троицкое Ханкайского района Приморского края в семье военнослужащего. После окончания в 1966 году средней школы, работал учителем физкультуры в Брянской области..В 1967 году был призван на службу в Советскую Армию, после прохождения которой в 1969 году поступил работать сортировщиком металла в сортопрокатный цех Череповецкого металлургического завода. В 1976 году окончил Северо-Западный заочный политехнический институт по специальности «инженер-металлург». С 1974 по 1988 годы находился на выборной комсомольской и партийной работе. В 1990 году был назначен директором социально-бытового комплекса ОАО «Северсталь». В 1991 году получил второе высшее образование в Академии общественных наук при ЦК КПСС по специальности «политолог». С 1996 года избирался депутатом Законодательного Собрания Вологодской области, а с 2003 года — депутатом Государственной Думы. В 2002 году избран членом совета директоров ОАО «Северсталь». Является председателем Совета учредителей хоккейного клуба «Северсталь».
Политическую карьеру начал с комсомольской работы на Череповецком металлургическом заводе (ЧМЗ). С 1974 год по 1988 годы последовательно занимал должности:
После упразднения партийных органов в Череповце работал в должности председателя городского комитета народного контроля.
В феврале 1996 года избран депутатом Законодательного Собрания Вологодской области по Индустриальному избирательному округу № 4 города Череповца. В апреле 1999 года был переизбран, осуществляя депутатские полномочия до 2003 года. Будучи депутатом Законодательного собрания, занимал в нём следующие посты:
В 1999 году выступил одним из учредителей Межрегионального движения «Единство» в Вологодской области, а в 2001 году — вологодского регионального отделения партии «Единая Россия». До октября 2008 года являлся фактическим руководителем вологодского регионального отделения «Единой России», занимая должность секретаря областного политсовета партии. В 2003 году был избран депутатом Государственной Думы по общефедеральному партийному списку «Единой России». Даже став федеральным депутатом, не прекращал принимать активное участие в политике Вологодской области, продолжая руководить вологодскими единоросами.
В декабре 2007 года вновь был избран депутатом Государственной Думы по партийному списку «Единой России». Поскольку выборы в Государственную Думу V созыва не предусматривали выдвижение кандидатов от одномандатных округов и проходили исключительно по партийным спискам, «Единая Россия» обязала своих депутатов работать с избирателями определённых районов той области, от которой они прошли. Депутату Георгию Шевцову было определено работать с избирателями западных районов Вологодской области (Бабаевский, Белозерский, Вашкинский, Вытегорский, Кадуйский, Устюженский, Чагодощенский, Череповецкий, Шекснинский, город Череповец).
Кроме того, после выборов в Государственную Думу V созыва Генеральный совет «Единой России» рекомендовал членам партии не совмещать должность депутата федерального парламента с должностью секретаря политсовета регионального отделения. В этой связи Г.Е. Шевцов в октябре 2008 года сложил с себя полномочия секретаря политсовета вологодского регионального отделения партии, которые перешли председателю областного Законодательного Собрания Н.В. Тихомирову.
В самой Государственной Думе Георгий Шевцов состоит во фракции «Единая Россия», занимая с 2003 года должности:
Некоторые издания относят Г.Е. Шевцова к депутатам-лоббистам, утверждая, что он представляет так называемое «металлургическое лобби», будучи тесно связанным с ОАО «Северсталь». В частности, 21 декабря 2005 года им были инициированы изменения в ст.149 части второй Налогового кодекса РФ о восстановлении уплаты НДС за реализацию лома и отходов чёрных и цветных металлов. Это отражало интересы металлургической отрасли, которая несла налоговые потери, в связи с тем, что поставщики лома применяли льготы по НДС без снижения договорных цен на 18%, что влекло дополнительные расходы металлургических предприятий.