Родился в Смоленске.
В Русской императорской армии с июля 1915 года по март 1918 года. Участник Первой мировой войны на Западном фронте, командир роты, поручик.
В годы Гражданской войны с октября 1918 года Г. И. Анисимов командиром батальона 147-го и 145-го стрелковых полков 17-й стрелковой дивизии в составе 16-й армии (с ноября 1918 года именовалась как Западная, а с марта по июнь 1919 года — Литовско-Белорусская) участвовал в боях на Западном фронте против частей УНР и польской армии на пинском, мозырьском, овручском и коростеньском направлениях; весной и летом 1919 года — районе Вильно, Молодечно, Лепель, Полоцк, затем на витебском и минском направлениях. Летом 1920 года в бою в районе станции Шацилки был контужен. После излечения — исполняющий должность помощника командира 1-го запасного батальона этой армии. С ноября 1920 года Г. И. Анисимов проходил службу в 8-й стрелковой дивизии этой же армии, начальник дивизионной школы младшего комсостава, исполняющий должность начальника повторных курсов среднего комсостава при этой дивизии с декабря 1921 года — исполняющий должность помощника командира 71-го стрелкового полка и начальника сборов гранатомётчиков, с августа 1922 года — командир батальона 24-го стрелкового полка.
С сентября 1922 года по август 1923 года Г. И. Анисимов учился в Высшей тактико-стрелковой школе комсостава РККА им. III Коминтерна, затем продолжа служить в 24-м стрелковом полку 8-й стрелковой дивизии, помощник командира полка по строевой части, начальник штаба полка. С мая 1926 года — старший помощник начальника оперативной части штаба 5-го стрелкового корпуса. С июля 1928 года, по окончании разведывательных курсов при 4-м управлении Штаба РККА, исполняющий должность начальника 2-й части разведывательного отделения штаба этого же корпуса. С апреля 1933 года — инспектор физической подготовки и спорта штаба Белорусского военного округа. В 1935 году был назначен начальником штаба 29-й стрелковой дивизии этого же округа, с 1937 года — комендант города Рогачёв. В июле 1937 года Г. И. Анисимов приказом НКО № 2899 был уволен в запас по статье 43 пункт «б», однако затем этот приказ об увольнении был отменён и он был назначен начальником Могилёвских курсов усовершенствования командного состава запаса. С февраля 1940 года — начальник 1-х Слуцких курсов усовершенствования высшего и старшего начальствующего состава запаса. С октября 1940 года находился на учёбе в Академии Генерального штаба Красной Армии.
В начале Великой Отечественной войны с сентября 1941 года Г. И. Анисимов — начальник 5-го отдела штаба ВДВ Красной Армии, января 1942 года — заместитель главного инспектора, он же инспектор военно-учебных заведений Главного управления ВДВ Красной Армии, с мая того же года — начальник Управления боевой подготовки ВДВ, он же второй заместитель начальника штаба ВДВ Красной Армии. В августе 1942 года полковник Г. И. Анисимов был назначен командиром 212-й стрелковой дивизии Приволжского военного округа, с октября находился в распоряжении Военного совета Донского фронта. В декабре того же года — командир 252-й стрелковой дивизии 21-й армии в составе того же фронта. Участвовал в Сталинградской битве. За проявленное мужество, стойкость, отвагу, умелое вождение войск при разгроме немецко-фашистских захватчиков под Сталинградом Г. И. Анисимову было присвоено воинское звание «генерал-майор». С сентября 1943 года — командир 75-го стрелкового корпуса 53-й армии Степного и 2-го Украинского фронтов. В ходе битвы за Днепр соединения корпуса форсировали реку Днепр и продвинулись с боями вперёд более чем на 100 километров, расширив плацдарм на правом берегу реки и обеспечив успешные действия войск и армии. С 7 января 1944 года Г. И. Анисимов командовал 123-м стрелковым корпусом, который в составе 42-й и 67-й армий Ленинградского фронта участвовал в Ленинградско-Новгородской наступательной операции, в освобождении городов Красное Село и Красногвардейск. С 15 апреля 1944 года командовал сначала 6-м, затем со 2 июня — 98-м стрелковыми корпусами, которые входили в состав 21-й, 23-й и 2-й ударной армий Ленинградского фронта. Части корпуса успешно действовали в Выборгско-Петрозаводской, Млавско-Эльбингской и Восточно-Померанской операциях, при освобождении городов Эльбинг, Грудзёндз и Данциг, при этом командир корпуса генерал-лейтенант Г. И. Анисимов, умело управляя подчинёнными соединениями и частями, обеспечил их тесное взаимодействие с приданными средствами усиления. Смело применяя манёвр на поле боя в ходе стремительного наступления, командир корпуса своевременно принимал правильные решения по ликвидации отдельных опорных пунктов противника, мешающих продвижению наших частей. Корпус под его командованием с боями прошёл сотни километров, занял десятки населённых пунктов, нанёс врагу существенный урон в живой силе и боевой технике, захватил большие трофеи. За умелую организацию наступления, смелое применение обходного манёвра Г. И. Анисимов был награждён орденом Суворова 2-й степени.
После войны с августа 1945 года Г. И. Анисимов командовал 132-м стрелковым корпусом Северной группы войск. С июня 1946 года — начальник курса, а с сентября 1956 года — начальник основного факультета Высшей военной академии им. К. Е. Ворошилова (с июня 1958 года — Военная академия Генштаба). С января 1963 года в отставке.
Умер в Москве 18 марта 1974 года.