Георгий Елчанинов родился 16 августа 1871 г. в православной семье. Окончил Николаевский кадетский корпус. 31 августа 1891 г. вступил в службу. В 1893 г. окончил Николаевское кавалерийское училище. Корнетом был выпущен в 36-й драгунский Ахтырский полк. В 1894 г. произведен в поручики, в 1896 г. — в штаб-ротмистры, а в 1902 г. — в ротмистры. В 1901 г. за безупречную службу награжден орденом Святого Станислава 3-й степени, а в 1912 г. — орденом Святой Анны 2-й степени.
С началом Первой мировой войны — командир эскадрона 36-го драгунского Ахтырского полка. 11 октября 1914 г. ротмистр Елчанинов за храбрость, проявленную в боях награждён Георгиевским оружием. 22 марта 1915 г. за боевые заслуги произведен в полковники, а 17 сентября 1915 г. назначен командиром 12-го гусарского Ахтырского полка. 30 октября 1916 г. за умелое руководство полком в бою награждён орденом Святого Георгия 4-й ст. Петроград, 19168 августа 1917 г. Временным правительством произведен в генерал-майоры. 8 ноября 1917 г. назначен командующим войсками Одесского военного округа.
В утверждением власти УНР в Киеве генерал Елчанинов освобождается от должности командующего Одесским военным округом и становится преподавателем военной школы УНР . С формированием Украинской державы весной 1918 г. переходит на службу в гетманскую армию, где 15 июля 1918 г. назначается командиром 2-й бригады 4-й конной дивизии. С падением власти гетмана П. Скоропадского в январе 1919 г. поступает добровольцем войска генерала Деникина.
Многие подробности службы генерала Елчанинова в рядах ВСЮР достоверно неизвестны. По данным Я. Тинченко, с 25 января 1919 г. он был назначен комендантом Мариуполя. По данным С. В. Волкова генерал Елчанинов являлся участником Бредовского похода в начале 1920 г., и был интернирован в Польшу. Весной 1920 г. он возвратился в Крым для продолжения борьбы и был назначен комендантом Севастополя. На этой должности в Русской армии он находился до эвакуации Крыма в ноябре 1920 г.
Генерал Елчанинов в эмиграции прожил недолго, и умер в 1924 г. в возрасте 52-х лет в польском городе Вадовице.