Воспитанник московского клуба ЦСКА. По окончании ДЮСШ ПФК ЦСКА в 2007 году, был приглашён в дубль команды. В сезоне 2008 провёл за молодёжный состав армейцев 23 матча. За основной состав ЦСКА дебютировал в матче 1/16 Кубка России против владимирского «Торпедо» 6 августа 2008 года. 24 октября того же года дебютировал в Кубке УЕФА, выйдя на замену на 86-й минуте игры с «Депортиво Ла-Корунья». 18 февраля 2009 года полностью провёл матч против «Астон Виллы» в этом же турнире. 7 марта 2009 Георгий вместе с ЦСКА завоевал свой первый трофей — Суперкубок России. С этого времени Щенников стал ключевым игроком ЦСКА. В мае 2011 года защитник получил травму, от которой восстановился лишь в октябре.
По состоянию на 26 марта 2012
В таблице под определёнными столбцами учтены следующие турниры: