Окончил Морской корпус и 10 апреля 1911 года произведён в корабельные гардемарины. С 1911 — офицер оперативной части штаба Черноморского флота. Участник Первой мировой войны. Произведён в лейтенанты 1 января 1915 года. В том же 1915 году во время Дарданелльской операции был офицером связи в штабе начальника союзной эскадры. 26 декабря 1916 года Веселаго, будучи лейтенантом 1-го Балтийского флотского экипажа, был награждён Георгиевским оружием. В сентябре 1917 года, будучи старшим лейтенантом и командиром эсминца «Жаркий» на Черноморском флоте, отстранён от должности по требованию революционных матросов.
В октябре 1917 — январе 1918 года начальник оперативной части, исполняющий обязанности начальника штаба Главного начальника Мурманского укрепрайона и Мурманского отряда судов. С февраля 1918 года заведующий делами Мурманской Народной коллегии, с мая — управляющий делами Мурманского Совета. Сыграл ведущую роль в разрыве Мурманского Краевого Совета с Совнаркомом РСФСР в конце июня 1918 года и заключения т.н. «словесного соглашения».
С октября 1918 г. находился под белогвардейским следствием, как «агент советской власти». С помощью американской миссии 9 февраля 1919 года покинул Мурманск. После этого стал штаб-офицером для поручений при начальнике Управления военных и военнопленных, находящихся во Франции, с августа — военный представитель Верховного правителя Колчака при правительствах и командовании стран Антанты. Преподавал во Владивостокском Александровском мореходном училище дальнего плавания. В январе 1920 года эмигрировал в Мексику, позже перебрался в США, где жил в Филадельфии, работал инженером и управляющим. Состоял в Обществе бывших русских морских офицеров в Америке. Умер в городе Менло-Парк, Калифорния.
Георгий Михайлович Веселаго был прототипом Михаила Герасимовича Басалаго, одного из героев романа Валентина Пикуля «Из тупика»