Сомхишвили дебютировал в составе ЦСКА в сезоне 2002/03, после чего выступал за «армейцев» на протяжении восьми лет. Летом 2010 года Георгий перешёл в югорский клуб «Газпром-Югра». К моменту перехода он уступал по количеству проведённых за ЦСКА матчей лишь Сергею Сергееву. После половины сезона Георгий был отдан в аренду подмосковным «Мытищам».
В 2007 году Сомхишвили провёл 2 матча за сборную России по мини-футболу.