Воспитанник одесской СДЮШОР «Черноморец». В большом футболе играл на позиции защитника за дубль «Черноморца», успел сыграть один матч за первую команду «моряков» в Кубке Украины.
В 1995 году перешёл в мини-футбол, приняв предложение одесского «Локомотива», параллельно пытаясь проявить себя в большом футболе, выступая в любительских командах Одесской области (в 1992 и 1995 годах - в «Благо» Благоево, в 1997 - в овидиопольском «Днестре»). В составе железнодорожников стал трёхкратным чемпионом Украины и дважды выигрывал Кубок страны. Перейдя в киевский «Интеркас», дважды выиграл национальное первенство и Кубок.
В донецком «Шахтёре» Мельников трижды выиграл чемпионат Украины и один раз – Кубок. Сезон 2008—2009 стал последним в его игровой карьере, а последним профессиональным клубом Георгия стал луганский «Луг.Т.К.».
В составе сборной Украины по мини-футболу Мельников дважды становился серебряным призёром чемпионата Европы по мини-футболу — в 2001 и 2003 году, бронзовым призёром чемпионата мира (в 1996 году) и чемпионом мира среди студентов 1998 года.