Драгич начал профессиональную карьеру в 2003 г., вступив в семнадцатилетнем возрасте в клуб Словенской Баскетбольной Лиги 2D «Илирия». Там он играл в течение года, после чего перешёл в клуб «Слован» (словен. Ko?arkarsko dru?tvo Slovan), выступающий в Словенской Премьер Лиге А и Адриатической Лиге. После двух лет в «Словане» в 2006 г. перешёл в «Мурсию», клуб АБК Лиги.
В 2007 г. Драгич присоединился к клубу «Олимпия», выступающем в чемпионате Словении, Адриатической Лиге и Евролиге. В этом клубе он полностью провел сезон 2007-08, выиграв чемпионат Словении.
Драгич вошел в Драфт НБА 2008 года, где был выбран во втором раунде с сорок пятого места клубом «Сан-Антонио Спёрс». Впоследствии права на него были проданы «Финикс Санз», к которому он официально присоединился 22 сентября 2008 года. В «Санз» надеялись, что Драгич займет позицию плеймейкера после того, как её оставит Стив Нэш. В 2010 году 25 января Драгич набрал наибольшее количество очков за игру, 32 очка в игре против «Юта Джаз», забросив при этом 6 из 7 трёхочковых бросков. Однако в том матче «Санз» проиграли со счётом 124—115.
7 мая 2010 года в третьей полуфинальной игре Западной Конференции НБА он сыграл огромную роль в победе над «Сан-Антонио Спёрс», клубом, которым первоначально был задрафтован. Драгич заработал 23 очка в четвертой четверти из 26 очков за игру. Он забросил 10 из 13 бросков, включая 5 из 5 трехочковых. Это позволило «Санз» преодолеть 18-очковый разрыв, победить со счётом 110-96 и одержать третью победу в серии, которая являлась лучшей из семи, проведенных «Санз» в Полуфиналах Западной Конференции. Комментарий Гранта Хилла, нападающего «Санз»: «С уверенностью могу сказать, что это была лучшая завершающая четверть, из тех, что я видел в играх плей-офф».
В 2004 г. в составе молодёжной сборной Словении по баскетболу Драгич завоевал золотую медаль Юношеского чемпионата Европы ФИБА. Он также принимал участие в этом чемпионате в 2005 году.
В составе Сборной Словении он участвовал в чемпионатах мира по баскетболу 2006 и 2010 годов, чемпионатах Европы 2007 и 2009 годов.
Драгич вырос в Словении, играя в футбол. Однако был вынужден изменить вид спорта из-за травмы. Будучи ребенком, он восхищался такими баскетболистами, как Майкл Джордан, Аллен Айверсон и Стив Нэш, с которым впоследствии играл в «Финикс Санз». Юный Горан специально просыпался в 3 часа утра для того, чтобы смотреть матчи НБА в прямом эфире. Владеет (некоторыми бегло) словенским, сербохорватским, испанским и английским языками. Имеет брата Зорана, который тоже профессионально играет в баскетбол за словенский клуб «КРКА» (словен. Ko?arkarski klub Krka).