Горан Вишнич родился 9 сентября 1972 года в городе Шибенике, который находится на берегу Адриатического моря в Хорватии (в то время на территории Югославии). Его родители — Желейко Вишнич, водитель автобуса и Милка Вишнич, продавщица на продуктовом рынке. Сейчас они на пенсии. Он также имеет старшего брата — Йошко Вишнича. Впервые проявил себя как актёр в 9 лет на сцене детского драматического театра г. Шибеник. В 1988 году он дебютировал в спорном югославском фильме Bra?a po materi, сыграв юного хорватского экстремиста. Закончил Академию Драматических Искусств г. Загреба (Хорватия).
Вишнич был самым молодым актёром, которого выбрали на роль шекспировского Гамлета в проекте международного летнего театрального фестиваля в Дубровнике (Хорватия). Он изображал принца Гамлета в течение 6 лет с 1993 по 2000 гг., выиграв несколько театральных премий Орландо (эквивалент российской «Золотой Маски»).
Фильмы Вишнича до периода «Скорой помощи»: Миротворец, Безумно верная жена и Практическая магия. В 1998 году он появился в музыкальном клипе Мадонны «The Power of Goodbye», а также в маленькой роли русского мафиози в фильме Шулера. Но роль Ристо в фильме Добро пожаловать в Сараево буквально изменила его жизнь. Продюсер Джек Орман, заметив его в этой роли, пригласил Вишнича в популярный американский сериал «Скорая помощь». Он вступил в актёрский состав сериала в 1999 году (6 сезон) и стал ведущим актёром в 2006 г (12 сезон). В марте 2007 г. было анонсировано, что Вишнич покидает сериал в конце 13 сезона (2007). Но возвращается для 7 серий 14 сезона (2007-2008).
С тех пор как он присоединился к «Скорой помощи», Вишнич сыграл главную мужскую роль в фильме На самом дне, озвучил Сото в Ледниковом периоде, и также сыграл главные роли в Последней воле и Под гипнозом. Позже он сыграл Спартака в телефильме Спартак, и в хорватском фильме и телесериале Длинная мрачная ночь. Он также сыграл вместе с Дженнифер Гарнер в фильме Электра. В мае 2007 года Вишнич появился в музыкальном клипе группы UNKLE’s на песню «Burn My Shadow». В октябре 2007 начались съемки фильма "Елена" в Ванкувере, где Вишнич снимется в главной роли вместе с Эшли Джадд. Весной 2008 году принял участие в фильме Нью-Йорк, я люблю тебя в части, снятой режиссёром Андреем Звягинцевым.
Вишнич женат (с 8 мая 1999 г.) на Иване Врдольяк, дочери известного хорватского режиссёра Антуна Врдольяка (бывшего вице-президента Хорватии). Они постоянно проживают в Лос-Анджелесе. В апреле 2007 года они усыновили мальчика, который родился 19 апреля. Он был назван Тином в честь хорватского поэта Тина Уевича. В ноябре признал отцовство Ланы Лурдес, рождённой в марте 2007 года от Мирелы Рупич. Его племянником является Ведран Чорлука-игрок "Тоттенхэма" из Британии. 7 июля 2011 родился сын Виго от суррогатной матери. Вишнич является активным членом защиты животных и даже появился в 2002 году со своей собакой Багзи в компании против ношения меха для организации PETA.