Родился в 1898 году в деревне Нармучь Гусь-Хрустального района.
Октябрь 1917 года Горшков встретил девятнадцатилетним юношей и включился в борьбу за счастливую жизнь трудового народа. Молодым красноармейцем участвовал в боях на восточном и южном фронтах, работал в органах ВЧК. После демобилизации Аким Горшков возвратился в родную деревню Нармуч и в 1928 году он возглавил сельхозартель.
Председатель колхоза «Большевик» Гусь-Хрустального района Владимирской области с 1928 года.
Член КПСС с 1939 года. Депутат Верховного Совета СССР. Представлял колхозное крестьянство на Втором и Третьем съездах колхозников, был избран в Союзный Совет колхозов.
Умер 18 января 1980 года в деревне Нечаевская Гусь-Хрустального района.
Память о Горшкове А. В. хранится в местном музее.
Торжественно отмечалось его 100-летие со дня рождения.