Рене родился в семье польских эмигрантов Станислава и Анны Госцинны (Березняк). Когда ему было два года, семья переехала в Аргентину, где его отец получил работу инженера-химика; Рене учился в Буэнос-Айресе во французской школе. В 1943 г., сразу после того, как Рене закончил школу, его отец умер, и 17-летнему Госинни пришлось содержать семью. Рене работал помощником бухгалтера, младшим художником в рекламном агентстве. В 1945 г. Госинни с матерью перебрались в Нью-Йорк к родственникам. Здесь Рене должен был быть призван в американскую армию, однако он предпочёл служить в армии французской и отправился в Европу; во время армейской службы Госинни был художником полка. По окончании срока службы Госинни вернулся в Нью-Йорк.
Начиная с 1948 г. профессиональная карьера Госинни начала постепенно налаживаться. Рене становится главным художником небольшого издательства «Kunen Publishers», в котором выходят четыре его книжки для детей. К этому времени относится знакомство Госинни с многими крупными авторами комиксов, с которыми в дальнейшем его свяжет тесное сотрудничество, — прежде всего, с Морисом де Бевером (Моррисом), автором комикса «Счастливчик Люк», для которого Госинни писал тексты с 1955 до 1977 гг.
В 1951 г. Рене Госинни вновь уезжает в Париж в качестве корреспондента одного из нью-йоркских информационных агентств. Здесь он интенсивно работает как журналист, автор текстов и рисунков для различных изданий, а в 1955 г. вместе с Жаном Мишелем Шарлье и Альбером Удерзо основывает издательство «Edipress/Edifrance», выпускавшее ряд летучих журналов, в которых печаталось много комиксов.
В 1959 г. «Edipress/Edifrance» открывает новый журнал «Pilote», для первого номера которого Госинни начинает свой самый знаменитый комикс-сериал «Астерикс». Параллельно он рисует или сочиняет тексты ещё для доброго десятка сериалов.
Госинни умер в возрасте 51 года от сердечного приступа.
С 1996 г. ежегодно присуждается международная премия имени Госинни лучшему молодому автору комиксов. Имя Госинни носит одна из улиц 13 округа Парижа (близ Национальной библиотеки Франции).