Григор Меликсетян является воспитанником футбольной школы «Пюник». Уже с 2008 года он являлся главным стражем ворот ереванского клуба. Играть в стане чемпионов Армении Меликсетян начал с 2007 года. После сезона 2008 года стал самым надёжным вратарём. На протяжении чемпионата 2009 года выступал стабильно, редко когда главный тренер «Пюника» — Вардан Минасян пользовался услугами второго голкипера Эдварда Оганесяна. Однако в концовке сезона Оганесян стал показывать взрослую игру и более надёжно стоять в воротах. Таким образом Меликсетяну пришлось уступить пост номер один своему коллеге по клубу и сопернику за место в основе.
Роль дублёра Меликсетяну не прижилась и в начале 2010 года начал искать новый клуб. Меликсетяна ждал иранский клуб «Дамаш», с которым футболист намеревался заключить контракт. Но из-за расхождений в условиях переход не состоялся. Тем не менее, чтобы не потерять физическую форму Меликсетян проводил тренировочные занятия в дилижанском «Импульсе». Тесные связи в момент тренировок подействовали на будущее место пребывание в профессиональной жизни футболиста и в феврале был подписан контракт с «Импульсом», который в начале года уже приобрёл двух высококвалифицированных голкиперов — Феликса Акопяна и Маиса Азизяна. Первый официальный матч в составе «Импульса» провёл 23 марта 2010 года в Кубке Армении против «Пюника», в котором команда проиграла с минимальным счётом — 0:1. Ввиду высокой конкуренции в «Импульсе» вынужден был искать новый клуб.
В итоге в летнее трансферное окно першёл в капанский «Гандзасар». Не сыграв и матча уехал в Иран, где подписал контрак с клубом «Мес». Следующий сезон начал в другом иранском коллективе «Пайкан». На сегоднейший день Григор является основным голкипером «Пайкана».
Выступал в молодёжной сборной Армении сыграл за неё 7 матчей.
В январе 2012 года Меликсетян был приглашён в сборную Армении для участия в февральских товарещеских матчах на Кипре. 28 февраля дебютировал за Сборную Армении в матче против Сборной Сербии. Первый матч для Меликсетяна вышел комом, так как игра закончилась поражением армянской команды 0:2. В первом случае мяч влетел в ворота после отбивания Меликсетяном. Во-втором, Меликсетян после удара соперником не зафиксировал мяч в руках.
Итого: 1 матч / -2 голов; 0 побед, 0 ничьих, 1 поражение.
(откорректировано по состоянию на 28 февраля 2012 года)