Родился 9 ноября 1914 года в селе Ново-Николаевка Азовского района Ростовской области в семье рабочего. По другим данным место рождения Завгороднего — станица Николаевская Константиновского района Ростовской области. Русский.
Окончил 7 классов. Работал в колхозе. В 1934 году окончил курсы фрезировщиков.
В 1936—1937 годах служил в Красной Армии. Окончил полковую артиллерийскую школу при 114-м стрелковом полку Северо-Кавказского военного округа. В 1937 году уволился в запас. В 1938—1939 годах окончил курсы электромонтёров и техническую железнодорожную школу в городе Краснодар. В 1939 году окончил курсы усовершенствования комсостава запаса при Орждоникидзевском артиллерийском училище, стал младшим лейтенантом. После курсов переподготовки работал дежурным по станции Белореченская.
Вторично призван в армию 24 июня 1941 года. Служил в 268-м запасном артиллерийском полку. На фронте в Великую Отечественную войну — с февраля 1942 года. Был командиром огневого взвода, артиллерийской батареи. Воевал на Крымском, Северо-Кавказском, Южном, Юго-Восточном, Сталинградском, Донском, Брянском, Центральном, Белорусском, 1-м и 2-м Белорусских фронтах. Член КПСС с 1943 года.
Командир артиллерийской батареи гвардии капитан Завгородний отличился в боях за Днепр. При форсировании Днепра 29 сентября 1943 года в районе села Мысы (Репкинский район Черниговской области) огнём с левого берега содействовала захвату плацдарма. В ночь на 30 сентября батарея на подручных средствах переправилась на правый берег и помогла удержать занятый плацдарм. 2 октября батарея форсировала приток Днепра и огнём нанесла урон врагу.
Последней операцией в ходе Великой Отечественной войны для Завгороднего стала операция по форсированию обоих рукавов Одера и штурм города-крепости Штеттин (Щецин, Польша). На берегу Балтийского моря и закончился его боевой путь.
В ноябре 1945 года окончил высшую офицерскую артиллерийскую школу в Ленинграде. После училища до февраля 1949 года служил заместителем командира артиллерийского дивизиона 9-й механизированной дивизии в составе Группы советских войск в Германии (ГСВГ), а затем командиром дивизиона 167-го артиллерийского полка 24-й отдельной стрелковой бригады Западно-Сибирского военного округа.
Григорий Демидович скоропостижно (паралич сердца) скончался 12 декабря 1955 года на посту заместителя командира полка и был похоронен в городе Новосибирске. В марте 1956 года его останки были перевезены в город Саки и захоронены на гражданском кладбище. У могилы установлен памятник.