Родился 10 февраля 1921 года в деревне Мартыново ныне Кунгурского района Пермского края в семье крестьянина. Русский. В 1935 году окончил школу-семилетку в селе Кыласово (Кунгурский район), в 1939 году – Пермский авиационный техникум. Работал техником на Пермском авиамоторостроительном заводе. В 1938 году окончил Пермский аэроклуб.
В армии с сентября 1939 года. В 1940 году окончил Пермскую военную авиационную школу лётчиков. Служил в строевых частях ВВС (в Киевском и Одесском военных округах).
Участник Великой Отечественной войны: в декабре 1941-мае 1942 – лётчик 210-го ближнебомбардировочного авиационного полка, в мае 1942-мае 1945 – командир звена, заместитель командира и командир авиаэскадрильи, штурман 210-го штурмового авиационного полка. Воевал на Южном, Северо-Кавказском, Закавказском и 3-м Украинском фронтах. Участвовал в оборонительных боях на Донбассе, битве за Кавказ, освобождении Кубани и Крыма, Ясско-Кишинёвской операции, освобождении Румынии, Болгарии и Югославии, в Будапештской и Венской операциях. За время войны совершил 247 боевых вылетов (из них 44 – на бомбардировщике Су-2 и 203 – на штурмовике Ил-2). Был пять раз подбит, но во всех случаях совершил удачные вынужденные посадки.
За мужество и героизм, проявленные в боях, Указом Президиума Верховного Совета СССР от 4 февраля 1944 года командиру авиаэскадрильи 210-го штурмового авиационного полка (230-я штурмовая авиационная дивизия, 4-я воздушная армия, Северо-Кавказский фронт) старшему лейтенанту Сивкову Григорию Флегонтовичу присвоено Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 августа 1945 года штурман 210-го штурмового авиационного полка (136-я штурмовая авиационная дивизия, 10-й штурмовой авиационный корпус, 17-я воздушная армия, 3-й Украинский фронт) майор Сивков Григорий Флегонтович награждён второй медалью «Золотая Звезда» (№76/II).
После войны продолжал службу в строевых частях ВВС (в Центральной группе войск в Австрии). В 1952 окончил Военно-воздушную инженерную академию имени Н.Е.Жуковского.
В 1952-1953 – лётчик-испытатель Государственного Краснознамённого научно-испытательного института ВВС. Провёл ряд испытательных работ на реактивном истребителе МиГ-15, штурмовике Ил-10, вертолёте Ми-1.
В 1956 году окончил адъюнктуру Военно-воздушной инженерной академии (ВВИА) имени Н.Е.Жуковского, защитил кандидатскую диссертацию. Был начальником лаборатории, преподавателем, старшим преподавателем в ВВИА имени Н.Е.Жуковского. С декабря 1972 года – начальник кафедры безопасности полётов ВВИА имени Н.Е.Жуковского. Автор 70 научных работ, доцент. С января 1986 года генерал-майор авиации Г.Ф.Сивков – в запасе.
Жил в Москве. Работал старшим научным сотрудником в ВВИА имени Н.Е.Жуковского. Умер 20 ноября 2009 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
С июня 1945 года был женат на Герое Советского Союза Екатерине Васильевне Рябовой (1921-1974), с 1994 года - на Ольге Юрьевне Доброленской.
Почётный гражданин Перми (1973)
Бронзовый бюст Г.Ф.Сивкова был установлен в деревне Мартыново (в настоящее время перенесён). Его именем названа улица в Перми и селе Кыласово Кунгурского района Пермского края.