Родился 18 октября 1923 года в крестьянской семье в селе Мефодовка Харьковской губернии (ныне Середино-Будский район, Сумская область, Украина). Украинец. Окончил 7 классов. Работал в колхозе.
В Красной Армии с июля 1941 года. На фронте в Великую Отечественную войну с августа 1941 года. Сражался на Юго-Западном, Южном, 3-м Украинском, 1-м Белорусском фронтах.
Командир отделения 986-го стрелкового полка (230-я стрелковая дивизия, 5-я ударная армия, 1-й Белорусский фронт) комсомолец младший сержант Григорий Эсаулко, в ходе боёв в восточной части столицы гитлеровской Германии — города Берлина, охранял штаб полка.
26 апреля 1945 года во время передислокации штаб столкнулся с группой гитлеровцев, скрывавшихся в подвальных помещениях. Смело и решительно вступив с ними в бой, младший сержант Эсаулко нанёс им значительные потери, но и сам погиб в рукопашной схватке. Похоронен в городе Мендзыжеч (Любушское воеводство, Польша).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом геройство и мужество младшему сержанту Эсаулко Григорию Григорьевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина, орденом Красной Звезды, медалью.