Любовь к спорту развил у него школьный учитель физкультуры Иван Сергеевич Полозов. После школы поступил в ФЗУ (школа Фабрично-Заводского ученичества). Ярко проявил себя в матче взрослых команд посёлка Глухово (она была создана при местной текстильной фабрике) и городка Электросталь. Играть начал в клубе «Металлург» московского завода «Серп и молот», где быстро стал любимцем публики, несмотря на свой юный возраст. Его очень скоро заметили, и с 1938 года он был приглашён в ЦДКА, где сразу же попал в основной состав и стал ведущим форвардом команды.
27 октября 1940 получил страшную травму руки во время матча ЦДКА — «Спартак» (Москва): откликаясь на передачу слева, рванул к мячу, а в это время кто-то из защитников схватил его за руку — сила инерции была настолько велика, что рука выскочила из сустава. От последствия этой травмы Федотов так и не оправился. Стал играть с тугой повязкой и избегать столкновений. Тем не менее, благодаря огромному природному дару Григорий Федотов и после войны был в числе лучших — исполняя в основном дирижёрские обязанности, успевал в промежутках много забивать.
Во время войны, как и большинство футболистов-офицеров, был направлен в тыл, заниматься эвакуацией, охраной объектов и т. п. В 1943 команду собрали вновь и стали проводить матчи с другими уцелевшими клубами, а в 1945 возобновили первенство страны. Григорий Иванович был выбран капитаном команды, вместе с ним в нападении стал играть Всеволод Бобров, вдвоём они составляли ту ударную силу, которая помогла армейцам три года подряд становиться чемпионами страны и дважды завоевать Кубок.
В 1949 году, Федотов, став лучшим бомбардиром команды, перешёл в помощники тренера родной команды, его ещё до войны преследовали травмы и с годами их становилось только больше. На должности тренера он и проработал до своей кончины в 1957.
В 1957 был отправлен руководством ЦДСА в Тбилиси на просмотр молодых футболистов. Чуть позже на его имя в столицу Грузинской ССР пришла телеграмма о его снятии с должности 2-го тренера команды. После этого Федотов исчез. Приехавший в Тбилиси Николай Старостин (он намеревался пригласить Федотова в «Спартак» на должность главного тренера), принялся разыскивать Федотова. Его нашли в своей комнате без чувств. Врачи поставили диагноз грипп и рекомендовали отправляться в Москву. По версии жены, он заразился еще в столице, когда ухаживал за сыном, который вместе с матерью тогда и болел данным вирусом.
Дома в Москве жена обнаружила на теле Григория Федотова какие-то налеты, но помочь уже ничем не могла. Федотов умер, принимая ванну в своей квартире. Прибывшие врачи констатировали смерть. При вскрытии выяснилось, что у Федотова было полностью поражено одно легкое .
Похоронен на Новодевичьем кладбище.
После его смерти в 1958 году ЦСКА учредил приз имени Григория Федотова самой результативной команде чемпионата. А в конце 60-х был создан клуб Григория Федотова, в который включались футболисты, забившие больше 100 голов.
В 1986 году в Ногинске установлен бронзовый бюст футболиста. В 1994 году был создан Фонд ветеранов армейского футбола имени Григория Федотова. В Глухове открыт музей Григория Федотова, а на местном стадионе ему установлен памятник.
Имя Григория Федотова носит стадион клуба ЦСКА.
Жена Валентина Ивановна — представитель популярной футбольной династии. Все её братья — Василий, Георгий и Виктор Жарковы — футболисты, мастера спорта. Сын Владимир Федотов — известный футболист, тренер.