Родился 19 февраля (3 марта) 1897 года в деревне Телегино Воронежской губернии.
Умер 22 декабря 1962 года в Москве.
Жена — Зоя Дмитриевна (1908—1990), сестра Д. Д. Шостаковича.
Сын — Николай, пошёл по стопам отца и тоже стал гистологом.
Жили в Москве, на улице Арбат, дом № 40.
Основные труды — по сравнительной и экспериментальной цитологии и гистологии.
Г. К. Хрущов впервые (в 1931—1935) применил метод культивирования лейкоцитов с целью изучения человеческих хромосом — Г. К. Хрущев. Цитологические исследования на культурах нормальной крови человека. — «Труды Медико-биологического института», 1934, т. III.
Будучи последователем И. И. Мечникова, исследовал эволюцию защитных систем организма против инфекций и повреждений тканей.
В 1934 году вышла из печати работа К. Беляра «Цитологические основы наследственности» под редакцией П. И. Живаго и Г. К. Хрущева — руководство, предназначенное для научных сотрудников, аспирантов и студентов-генетиков старших курсов. Живаго и Хрущев перевели его с немецкого, внося ряд дополнений из работ Курта Штерна. Эта книга была совершенно необходима, так как других пособий по цитологии наследственности в то время не было.
За работу «Роль лейкоцитов крови в восстановительных процессах в тканях» получил премию им. И. И. Мечникова АН СССР (1949).
Награждён орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалями.