Брат Александра Минха (1833—1912).
Начальное образование получил в саратовской гимназии. По окончании медицинского факультета Московского университета несколько лет провел ординатором в терапевтической клинике профессора Захарьина. В 1870 году защитил докторскую диссертацию. С 1872 — прозектор в Одесской городской больнице. В 1876—1895 годах — профессор патологической анатомии в Киевском университете.
В 1874 году прививками на самом себе доказал заразительность крови больных возвратным тифом. Установил, что две формы сибирской язвы — кишечная и лёгочная — имеют единое происхождение.
В 1879 году Минх был командирован в Астраханскую губернию, по поводу чумной эпидемии в Ветлянке. Исследовал также Решт в Персии и некоторые места на Кавказе с целью выяснения путей эпидемии; результаты исследования опубликованы им в «Отчете об астраханской эпидемии».
Автор классических работ о проказе, которую исследовал, участвуя в специальных экспедициях в Херсонскую и Таврическую губернии, в Туркестан (1880—1885), а также в Египет и Палестину (1890). Отстаивал точку зрения на заразительность этой болезни, противопоставляя её распространенной тогда концепции о наследственности проказы.
В отечественной литературе встречаются описания того, что Минх ещё в 1892 году установил факт возможности переноса сыпного тифа платяной вошью. В 1928 году французский бактериолог Шарль Николь за то же открытие получил Нобелевскую премию по физиологии и медицине.