Из крестьянской семьи. Закончил Киевский институт народного просвещения, где среди его преподавателей был Микола Зеров. Преподавал в пединститутах Тирасполя и Винницы. Диссертацию о творчестве Верлена не успел защитить: началась война.
В 1943 арестован вместе с женой, отбывал срок в лагере под Интой, освобожден в 1953, реабилитирован в 1962. После освобождения поселился в Ирпене, где его дом стал центром общения для украинской интеллигенции, а сам он — неформальным лидером украинских переводчиков. В его доме («Ирпеньском университете») постоянно бывали Вячеслав Чорновил, Иван Дзюба, Лина Костенко, Василь Симоненко и многие другие. В 1968 подписал Письмо 139-ти против незаконных политических судов на Украине. В 1973 Кочура исключили из Союза писателей Украины за то, что он отказался дать показания против писателя Евгена Сверстюка. На пятнадцать лет был лишен возможности публиковаться. В 1988 восстановлен в Союзе писателей. В 1991—1992 впервые получил возможность побывать за границей, выступал на конференциях в США, Польше и Чехии.
Переводил произведения писателей трех континентов, 30-ти стран и 26 столетий, от Архилоха и Алкмана до наших дней. Автор работ по теории перевода, статей о мировой литературе, о выдающихся украинских переводчиках (Н. Зеров, М. Лукаш и др.).
Лауреат премий М. Рыльского и Т. Шевченко за переводческую деятельность, награжден медалью Научного общества имени М. Грушевского.
В Ирпене действует музей Григория Кочура.
Во Львовском университете открыта переводческая кафедра им. Г. Кочура.
В 2008 в честь 100-летия переводчика выпущена марка с его портретом.