Сын директора коммерческого банка, Гюстав Адор изучал филологию и юриспруденцию в университетах Рейхштадта и Женевы. В 1868 году получил степень лиценциата. Он был женат на дочери банкира Элис Пердонне (ум.1908) и у них родились пять дочерей и один сын.
Уже в 1874 году Адор избран в Большой совет кантона Женева в качестве либерально-консервативного правого кандидата (в будущем от Либеральной партии Швейцарии). Он сохранил свое место до 1915 года. Одновременно он также несколько раз был членом Государственного совета Женевы (кантонального правительства), как начальник департамента финансов.
С 1878 по 1880 год он был членом Национального совета, а с 1889 по 1917 год — членом Совета кантонов (сенат Швейцарии). Несколько раз он участвовал в федеральных выборах, но так как принадлежал меньшинству в парламенте Швейцарии, не был избран. Только в 1917 году в первом туре голосования он получил подавляющее большинство голосов и был избран в Федеральный совет на место ушедшего в отставку Артура Хоффмана, главным образом потому, что он не участвовал в большой политике и ему было уже 72 года. За два с половиной года пребывания в должности, он возглавлял политический департамент и министерство внутренних дел.
Адор провёл целый ряд дипломатических мероприятий. В период пребывания в должности президента, он дважды ездил в Париж в 1919 году для участия в мирной конференции с лидерами союзников. Благодаря его участию штаб-квартира Лиги Наций была размещена в Женеве . При вступлении Швейцарии в Лигу Наций, он добился признания особого статуса нейтралитета Швейцарии.
Адор был единственным политиком Либеральной партии избранным в Федеральный совет.
В начале 1870 года Адор был избран кооптированным членом Международного комитета Красного Креста. В 1910 году он стал третьим президентом в истории Комитета. Эту должность он занимал до своей смерти в 1928 году. Таким образом, он в общей сложности 58 лет являлся членом Международного комитета Красного Креста, в том числе 18 лет в качестве его президента. Во время его пребывания в должности, в период Первой мировой войны, МККК столкнулся с серьёзными проблемами. Благодаря его инициативе 15 октября 1914 года, сразу после начала войны, был создан Международный центр по вопросам военнопленных. Деятельность МККК во время войны привела к значительному повышению репутации Комитета и его полномочия распространились на всё международное сообщество. В 1917 году МККК получил единственную Нобелевскую премию мира за годы войны с 1914 по 1918 год.