Х.И. Амирханов родился в селе Карадах (ныне Дагестан). В 1930 окончил Азербайджанский университет. Затем с 1932 по 1950 работал в Институте физики и математики АН Азербайджанской ССР, в том числе с 1944 в должности директора. С 1950 занимал пост председателя Президиума Дагестанского филиала АН СССР, а также преподавал в Азербайджанском университете (с 1946 как профессор).
Амирханов являлся членом КПСС с 1941, избирался депутатом Верховного Совета СССР 5-го созыва.
Научные работы Амирханова посвящены физике полупроводников, энергетике, геофизике. Он исследовал термоэлектрические свойства полупроводников и явления переноса в условиях сильных магнитных полей. В 1940 им был открыт новый эффект - тепловое выпрямление. Также Амирханов изучал термо- и гальваномагнитные явления в полупроводниках при воздействии сильных магнитных полей, обнаружив при этом воздействие спинового расщепления уровней Ландау на квантовые осцилляции. Он также изучал поведение полупроводников при температуре жидкого гелия и в сверхсильных импульсных магнитных полях.
Значительны также достижения Амирханова в области геофизики: в 1955 им был разработан калий-аргоновый метод для определения абсолютного возраста минералов, а в 1964 так называемый метод вариаций теплового потока, используемый для геотермической разведки полезных ископаемых.