Начал играть в теннис в 5 лет. Играл за Аргентину в молодежных командных турнирах в возрастных группах 14, 16 и 18 лет. В 1996 году стал победителем юношеского командного чемпионата мира в составе сборной Аргентины.
В 2002 году в возрасте 20 лет Давид стал финалистом Уимблдона, где проиграл австралийцу Ллейтону Хьюитту. После этого достижения он вошёл в пятьдесят лучших теннисистов в рейтинге ATP и был объявлен «спортсменом года» на своей родине. Главным достижением в карьере Налбандяна является выступление на итоговом турнире года в Шанхае-2005, куда он попал сравнительно случайно из-за отказов других теннисистов, стоящих выше него рейтингом. Однако там Налбандян вышел в полуфинал, где переиграл российского теннисиста Николая Давыденко, а в финале встретился с швейцарским теннисистом Роджером Федерером. В упорном, длившемся почти 5 часов матче Налбандяну удалось выиграть у Федерера со счётом 6-7 6-7 6-1 6-2 7-6?. После этой победы Налбандян впервые переместился на третью строчку рейтинга.
В целом неудачный 2007 год, когда по ходу сезона Давид откатился в рейтинге в третий десяток, Налбандян сумел закончить на более чем мажорной ноте, выиграв подряд 2 осенних турнира серии Мастерс — в Мадриде и Париже, сумев на каждом из них обыграть первую и вторую ракетки мира — Роджера Федерера и Рафаэля Надаля.
Только Налбандян, Роджер Федерер, Новак Джокович и Рафаэль Надаль доходили как минимум до полуфиналов всех 4 турниров Большого Шлема в одиночном разряде (среди действующих теннисистов).
В 2003—2007 годах Налбандян 5 лет подряд заканчивал год в первой десятке мирового рейтинга: