Учился в Консерватории Бильбао, где его главным наставником был Хесус Гуриди, затем в Париже у Поля Ле Флема и Поля Дюка и наконец в Базеле у Феликса Вайнгартнера. Кроме того, среди учителей Арамбарри в области дирижирования был работавший в Бильбао Владимир Гольшман.
Основные произведения Арамбарри, в значительной степени основанные на баскском музыкальном материале, созданы им на рубеже 1920-30-х гг. В их числе, прежде всего, прелюд для оркестра «Ведьмы в сочельник» (баск. Gabon zar Sorgi?ak; 1930) и Восемь баскских песен для сопрано с оркестром (1931). Позднее Арамбарри сочинял мало; среди его работ последующих лет выделяются две мемориальные пьесы — «Приношение» (исп. Ofrenda; 1946) памяти Мануэля де Фальи и «In Memoriam» (1939) памяти поэта Хуана Карлоса Гортасара, а также сарсуэла «Южный ветер» (исп. Viento Sur).
После возвращения в Бильбао Арамбарри посвятил себя преимущественно дирижированию, возглавив Симфонический оркестр Бильбао и много сделав для его превращения в профессиональный коллектив. В 1953 г. Арамбарри стал главным дирижёром Муниципального симфонического духового оркестра Мадрида. Он умер прямо во время концерта в мадридском парке Ретиро.