В возрасте 16 лет поступил в Московскую консерваторию имени П. И. Чайковского, по окончании которой был принят стажёром в труппу Кировского, а два года спустя, в 1975 году — Большого театра, где проработал до 1991 года. Лауреат международного конкурса в Софии (1979).
В Большом театре исполнил ведущие роли отечественного и зарубежного баритонального репертуара: «Евгений Онегин», Роберт («Иоланта»), Лионель («Орлеанская дева»), Елецкий («Пиковая дама»), Мизгирь («Снегурочка»), Андрей Болконский («Война и мир»), Фердинанд (Дуэнья), Чичиков («Мёртвые души»), Фигаро («Севильский цирюльник»), Жермон («Травиата»), Агамемнон («Ифигения в Авлиде»), Граф ди Луна («Трубадур») и многие другие.
С 1991 года живёт в Цюрихе (Швейцария) и выступает на различных оперных и концертных площадках Европы.
C 1991 года Игорь Морозов начал исполнять роли драматического репертуара — Риголетто, Набукко, Симон Бокканегра в операх Джузеппе Верди, Скарпиа в опере Джакомо Пуччини «Тоска» и Мазепа в опере П. И. Чайковского в театрах «Ла Скала» (Милан), Немецкая опера (Берлин), Государственная опера Унтер-ден-Линден (Берлин), Венская государственная опера, Брегенский фестиваль в Австрии.
Существует ряд записей опер с участием Морозова: «Беатриче ди Тенда» В. Беллини и «Анна Болейн» Г. Доницетти с Эдитой Груберовой, «Трубадур» Дж. Верди, «Снегурочка» Н. А. Римского-Корсакова (под управлением А. Лазарева). «Паяцы» Большой театр дирижёр Альгис Жюрайтис
В фильме Вуди Аллена «Матч-пойнт» соседка миссис Истби (Маргарет Тизак), когда в неё стреляет Крис (Джонатан Рис-Майерс), слушает CD с оперными ариями в исполнении Янеcа Лотрича (тенор) и Игоря Морозова («Janez Lotri? & Igor Morozov: Operatic Duets for Tenor and Baritone», Naxos Records) — сначала звучит сцена «Arresta» из «Вильгельма Телля» Россини, а затем сцена убийства Дездемоны из «Отелло» Верди.