Игорь Дмитриев воспитывался матерью, дедушками и бабушками. Отца, потомка Анны Павловны Шерер яхтсмена Бориса Петровича Дмитриева, по его словам, он помнил плохо, поскольку родители расстались вскоре после его рождения.
Мама Игоря, Елена Ильинична Таубер (1905—1984), еврейка по происхождению, была балериной, работала в мюзик-холле у знаменитого Касьяна Голейзовского, а также в балете Свердловска и цирке — выступала в шоу-аттракционе «Лошади и танцовщицы»; преподавала историко-бытовой танец в Пермском хореографическом училище. Цирк стал для Игоря одним из самых ярких впечатлений детства.
Другим серьёзным увлечением Игоря стал театр.
В семь лет Игорь Дмитриев начал выступать в школьной самодеятельности и в Ансамбле песни и пляски ленинградского Дворца пионеров, которым руководил Исаак Осипович Дунаевский. Тогда мальчик впервые и заявил, что, когда вырастет, станет актёром.
Дебют Игоря Дмитриева в кино состоялся в фильме В. Файнберга «Голос Тараса».
С началом Великой Отечественной войны семья Игоря эвакуировалась в Молотовскую область в посёлок Нижняя Курья. Там был Клуб речников, куда Дмитриев ходил с другими ребятами, читал стихи, пел, танцевал и принимал участие в концертах в военных госпиталях перед ранеными.
В 1943 году Игорь Дмитриев узнал, что при Пермском драматическом театре открывается театральная студия, и отправился туда на прослушивание. Для экзамена Игорь читал сцены из лермонтовского «Маскарада» и за Арбенина и, ввиду отсутствия партнёрши, за Нину. Приёмная комиссия огласила приговор: «Арбенин из тебя никакой, зато Нина — сама чистота и невинность. За Нину принимаем!».
Вскоре Игорь Дмитриев принял окончательное решение поступать в театральный. Успокоив мать, он отправляется в Москву.
Игорь подал заявления сразу в несколько институтов. Во ВГИК и Вахтанговскую школу его не приняли, зато взяли в Малый театр и ГИТИС. Имея за спиной такой тыл, он рискнул поступать ещё и в Школу-студию МХАТ, и это ему удалось.
Игорь Дмитриев вспоминал о годах учёбы: «Я застал Художественный театр в самом расцвете: на сцене блистали Качалов, Москвин, Книппер-Чехова, Тарханов. Мы очень подружились с Михаилом Пуговкиным, с которым обитали в одной комнате в общежитии. Нам с Мишей страшно повезло: обычно в комнатках ютилось по двенадцать человек, а мы жили вдвоём. Впрочем, нашу обитель и комнатой-то назвать было нельзя — крошечный закуток без окна и двери, кроме того, одной из стен служила стенка шкафчика, в который столяры вешали спецодежду: в здании помимо нескольких комнат для иногородних студентов размещались декорационные мастерские. Жили мы, как все студенты, голодно и весело».
В 1948 году Игорь Дмитриев окончил Школу-студию МХАТ и отправился в родной Ленинград, где у него оставалась пустующая квартира, которую бабушка сохраняла всю блокаду. Там Дмитриев поступил в Ленинградский драматический театр имени В. Ф. Комиссаржевской, где проработал до 1967 года.
На сцене этого театра им были сыграны: Антонио («Светите, звезды» И. Микитенко), Чебаков («Женитьба Бальзаминова» А. Островского), Грацианский («Живая вода» по роману Л. Леонова), Вагин («Дети солнца» М. Горького), Якимо («Цимбелин» У. Шекспира), Робинзон («Бесприданница» А. Островского), молодой физик Тулин («Иду на грозу» по роману Д. Гранина) и другие.
Высоко было оценено его исполнение роли Глумова в спектакле «На всякого мудреца довольно простоты» А. Островского (1965).
С 1984 года Игорь Дмитриев — артист петербургского Театра комедии им. Н. П. Акимова. В конце 90-х осуществил работы на других площадках Санкт-Петербурга: моноспектакли в театрах «Русская антреприза» им. А. Миронова и «Приюте комедиантов». С 2000 по 2003 год совместно с Михаилом Светиным играл спектакль «Дон Педро» (реж. Т. Казакова). Игорь Дмитриев участвовал в программе «Белый попугай».
В кино прославился как исполнитель благородных аристократов и офицеров разного рода, а также в многочисленных эпизодах.
В 2000-х годах Дмитриев редко снимался и появился в нескольких фильма и сериалах. С 2003 года он сотрудничал со «Смешариками», в сериях он читал от автора, также записал диск с аудиосказками.
В 2006 году артиста настиг инсульт, который лишил его речи. Позже с помощью логопеда он смог говорить только "да" и "нет".
Похоронен в Санкт-Петербурге на Серафимовском кладбище.