Стрельбой стал заниматься с 10 лет. В 1987 году стал обладателем Кубка мира. В 1988 году в Сеуле он стал бронзовым призёром в составе сборной СССР. В Барселоне Басинскому, выступавшему за Объединённую команду, не удалось завоевать медали. В Атланте в 1996 году он завоевал серебро, выступая уже за независимую команду Белоруссии. В 2000 году в Сиднее Игорь Басинский завоевал серебряную и бронзовую медали.
Кроме медалей Олимпиад, Игорь Басинский — неоднократный чемпион мира в личном и командном зачётах, неоднократный чемпион и призер чемпионатов Европы в личном и командном зачётах, а также неоднократный чемпион и рекордсмен Европы, СССР и Белоруссии.
Игорь Басинский признавался лучшим спортсменом БССР 1986 и 1987 гг и лучшим спортсменом Белоруссии в 2000 году.
Игорь Басинский — один из самых титулованных спортсменов в истории Белоруссии.