Родился в 1923 году в станице Нижний Чир (ныне посёлок городского типа в Суровикинском районе Волгоградской области) в семье крестьянина. Русский.
После окончания в 1940 году 10 классов школы, поступил в Саратовский политехнический институт (ныне Саратовский государственный технический университет).
В Рабоче-Крестьянской Красной Армии с октября 1941 года. Асеева послали обучаться в Пензенское артиллерийское училище. После окончания училища, в декабря 1941 года, направлен в действующую армию. В должности командира дивизиона 781-го артиллерийского полка 215-й стрелковой дивизии (5-я армия, 3-й Белорусский фронт), капитан Асеев отличился при освобождении Литвы (операция «Багратион»). Так, 21 августа 1944 года при отражении контратаки двух пехотных батальонов противника, поддержанных 15 танками, западнее города Каунас его дивизион подбил 2 танка и рассеял пехоту противника. Затем выдвинул две свои батареи на прямую наводку и их огнём уничтожил 3 танка. В решающий момент боя заменил раненного пулемётчика и лично уничтожил лично до взвода личного состава врага. В результате решительных действий капитана Асеева контратака была отражена, а оборонительный рубеж удержан.
Вскоре, 26 октября 1944 года, Игорь Петрович Асеев погиб на границе с Восточной Пруссией. Похоронен в Науяместисе Паневежского района Литовской ССР (ныне Литва).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года «за умелую организацию обороны дивизионом» Асееву Игорю Петровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ ????).
Именем Героя названы улицы: