Родился 27 июня (10 июля) 1916 года в селе Репное (ныне Уваровского района Тамбовской области) в крестьянской семье. Русский. Окончив неполную среднюю школу, работал трактористом в колхозе «Красный прилив», а с 1935 года — бригадиром механической откатки шахты № 54 Подмосковного бассейна. Выбран секретарём комсомольской организации.
В 1937 году призван в РККА в Воловском районе Тульской области. В 1941 году окончил военно-политическое училище в городе Брест. Член ВКП(б) с 1941 года.
Участник Великой Отечественной войны с 1941 года. Был ранен под Смоленском.
Командир танковой роты (23-я танковая бригада, 16-я армия, Западный фронт) младший политрук И. Е. Бармин отличился в оборонительных боях в ноябре 1941 года на волоколамском направлении под Москвой. Экипаж танка И. Е. Бармина в двух боях 16 и 25 ноября 1941 года уничтожил 19 танков противника, а также 7 ПТО.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 12 апреля 1942 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистским захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм» младшему политруку Бармину Илье Елизаровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
Бармин продолжал служить в той же бригаде, вскоре был назначен комиссаром батальона, а затем — инструктором политотдела. Весной 1942 года И. Е. Бармин приехал в родное село, где встречался с односельчанами, выступал на митинге в районном центре Каменка с рассказом о событиях на фронте, боевых подвигах советских воинов. 30 сентября 1942 года районная газета «Каменская правда» опубликовала письмо И. Е. Бармина, присланное из действующей армии:
В 1943 году окончил курсы усовершенствования при Военной академии бронетанковых и механизированных войск Красной Армии.
10 декабря 1943 года командир 3-го батальона 14-й гвардейской танковой бригады 4-го гвардейского танкового корпуса гвардии капитан И. Е. Бармин пропал без вести в боях южнее города Малин (ныне Житомирской области).
Бюсты И. Е. Бармина установлены на месте гибели и на аллее Мемориала Парка Победы в городе Уварово.
Мать — Ольга Андреевна Бармина (Дружкина). Отец — Елизар Иванович Бармин. Сестра Мария и брат Николай.