Сын Христофа Баха (1613—1661), родился в Эрфурте (Тюрингия) вместе со своим братом-близнецом Иоганном Христофом Бахом. Амброзий работал скрипачом в Эрфурте, затем, начиная с 1671, работал городским музыкантом в Эйзенахе, позже стал городским волынщиком. Его первой женой стала, 1 апреля 1668 года, Мария Елизавета Лемерхирт, родившая ему 8 детей, четверо из которых стали музыкантами. Самый известный из детей Иоганна Амброзия — Иоганн Себастьян Бах.
Умер в Эйзернахе, в 1695 году, в день своего 50-летия.