Родился пятым ребёнком в семье кузнеца. После смерти обоих родителей (1702 и 1707 гг), воспитанием мальчика занимался его дядя - Юстус Кванц, который был городским музыкантом в Мерзебурге, а также органист Иоганн Фридрих Кизеветтер. Дядя тоже вскоре умер, и мальчик продолжил своё обучение у его преемника Иоганна Фляйшхака. С 1714 поступил на обучение в городской оркестр Пирны, где учился игре на флейте, гобое, трубе и на нескольких других инструментах. По окончании обучения в 1716, получил место гобоиста и флейтиста в оркестре городской капеллы Дрездена. С 1717 обучался композиции у Яна Зеленки и Иоганна Фукса в Вене, в 1718 г. брал уроки у флейтиста Пьера Габриеля Бюффардена
В 1718 перешёл в качестве гобоиста в придворный оркестр Августа II, в составе которого совершал частые поездки в Польшу. С 1724 по 1726 путешествовал по Италии, где обучался контрапункту в Риме, встретился с Алессандро Скарлатти, подружился с кастратом Фаринелли, и в Венеции услышал своего музыкального кумира Вивальди. Далее отправился в Париж, а затем в Лондон, где Гендель упрашивал его остаться.
В 1728 стал флейтистом в придворной капелле Саксонии, в Дрездене (нем. S?chsische Staatskapelle Dresden) и познакомился с принцем Фридрихом, которому начал давать уроки игры на флейте, которые его король-отец сразу запретил (однажды Кванц был даже вынужден спрятаться в шкаф, когда отец решил проконтролировать непослушного принца. )
В 1737 году Кванц женился на Анне Розине Шиндлер, брак оказался неудачным, в Берлине ходили слухи, что жена его терроризировала. . В 1741 г. после коронации Фридриха королём Пруссии, он предложил Кванцу настолько выгодные условия в случае если он согласится стать придворным композитором и музыкантом, что Кванц остался при дворе до конца своей жизни (его преемником стал впоследствии Иоганн Вендлинг). Каждый день он давал уроки игры на флейте королю, управлял придворным оркестром, сочинял. Он также изготавливал инструменты по собственным эскизам, за которые щедро платил король. Коллегой Кванца при дворе с 1738 по 1768 гг. (правда в более низком статусе всего лишь придворного клавесиниста), был известный композитор Карл Филипп Эмануэль Бах. Кванц имел возможность познакомиться и с Бахом-отцом, который навещал своего сына композитора при дворе в 1747 г.
Автор более 200 сонат для флейты, 300 концертов для флейты, 45 трио-сонат, многочисленных флейтовых дуэтов, трио, квартетов, и других произведений. Трактат Кванца «Опыт наставления по игре на поперечной флейте» («Versuch einer Anweisung die Fl?te traversiere zu spielen» (Берлин, 1752) выходит за рамки флейтовой «школы» и по существу является фундаментальным руководством по исполнению музыки барокко. Написал автобиографию (опубликована В. Марпургом), в которой интересно описывает состояние музыки в Германии в его время.
Среди нововведений Кванца в строение поперечной флейты были дополнительные кольца, удлинявшие или укорачивающие инструмент - с их помощью можно было по разному подстраивать инструмент - камертонное "ля" в то время имело сильный разброс, и могло сильно отличаться даже в соседних городах. Кванц также прибавил к инструменту дополнительный клапан ми-бемоль, который отличался по строю от клапана ре-диез - Кванц был приверженцем нетемперированного строя инструмента.