Родился 11 сентября 1911 года в Чехии. Когда гитлеровские войска оккупировали его родину, эмигрировал в 1939 году в Польшу, чтобы продолжить борьбу в Чехословацком легионе. С началом 2-й мировой войны, при отступлении оказался на территории, занятой Красной Армией. Был помещён в лагерь для интернированных лиц, но затем перевезён в город Бузулук Оренбургской области и в 1942 году вступил в 1-й отдельный чехословацкий батальон, сформированный из чехословацких добровольцев под командованием полковника Людвика Свободы. Окончил Тамбовскую танковую школу.
Командир танковой роты И. Буршик отличился в боях за столицу Украинской ССР — Киев (с 1965 года — город-герой). 5 ноября 1943 года, танки «Т-34» его роты с автоматчиками танкового батальона, наступали вдоль Житомирского шоссе и к 16 часам вышли к заводу «Большевик». Танки «Соколово», «Яношик» и «Лидице» обошли завод. За передними танками шла «тридцатьчетвёрка» И. Буршика — «Жижка».
Перед самым заводом к «Жижке» подбежали две девушки и сообщили, что территория завода занята гитлеровцами, и показали замаскированную огневую позицию батареи противника. Несколькими меткими выстрелами танковых орудий противотанковая батарея врага была уничтожена.
Танк «Жижка» разбил ворота завода, уничтожил вражеский бронетранспортёр с боеприпасами, а танки роты «Лидице», «Яношик» и «Соколово» блокировали завод снаружи, автоматчики ротмистра Бернарда Бражины заняли все заводские объекты.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 21 декабря 1943 года за умелое командование танковой ротой и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гражданину Чехословакии подпоручику Буршику Иосифу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1692).
В последующие годы отважный командир-танкист воевал под Белой Церковью, Жашковом. В составе созданного весной 1944 года 1-го Чехословацкого армейского корпуса он принимал участие в Карпатско-Дуклинской операции войск 1-го Украинского фронта, сражался в Словакии и Моравии до полного освобождения Чехословакии от немецко-фашистских оккупантов. Капитан И. Буршик закончил войну в должности командира 2-го танкового батальона 1-й чехословацкой танковой бригады.
В 1949 году И. Буршик был осуждён на 10 лет по политическим мотивам к длительному сроку тюремного заключения. Попав в госпиталь из-за тяжёлой формы туберкулёза, ему удалось совершить побег и эмигрировать в Великобританию. Там он прошёл курс лечения, перенёс две операции. По личному пожеланию королевы Елизаветы II Буршику было даровано гражданство Великобритании, от которого он отказался. Оценив этот благородный поступок, королева наделила И. Буршика всеми правами гражданина Соединённого Королевства.
В 1990 году, после «бархатной революции» в Чехословакии, он был реабилитирован и произведён в чин генерал-майора Чешской Народной Армии.
Иосиф Буршик скончался 30 июня 2002 года в британском Нортгемптоне, где и похоронен.
Герой Советского Союза (21.12.1943). Награждён орденом Ленина (№ 16279), орденами Суворова 3-й степени (№ 12600), Красной Звезды, чехословацкими орденами, в том числе Чехословацким Военным Крестом 1939 года, и медалями.