Родился 13 ноября (26 ноября по новому стилю) 1910 года на хуторе Большая Фёдоровка Области Войска Донского, ныне Красносулинского района Ростовской области, в крестьянской семье. Русский.
Образование начальное, окончил три класса. Работал кузнецом в Садковской МТС.
В Красной Армии с августа 1941 года. В действующей армии с января 1942 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
Командир пулемётного расчёта сержант Иван Чистов особо отличился 26 сентября 1943 года при форсировании реки Днепр в районе села Глебовка Вышгородского района Киевской области Украины. С вверенным ему расчётом сержант Чистов в числе первых переправился через Днепр и принял участие в отражении многочисленных вражеских контратак.
После войны старший сержант Чистов И.А. был демобилизован. Вернулся на родину, где жил и работал председателем колхоза, бригадиром, мотористом.
Умер 16 мая 1976 года. Похоронен на хуторе Садки Красносулинского района Ростовской области.