Родился в семье служащего. Русский. Окончил семилетнюю школу в родном селе, затем школу фабрично-заводского обучения в городе Белорецке (Башкирия). Работал на сталепроволочном заводе Белорецкого металлургического комбината. В 1938 году поступил в Давлекановский сельскохозяйственный техникум, окончил два курса.
В ряды РККА призван Давлекановским райвоенкоматом Башкирской АССР в октябре 1940 года. В период прохождения службы окончил курсы младших лейтенантов, в 1943 году 2-е Харьковское военное танковое училище. На фронте в Великую Отечественную войну с мая 1943 года. Член ВКП(б)/КПСС с 1943 года.
Особо отличился в ходе Висло-Одерской наступательной операции. 15 января 1945 года его взвод разгромил отступающую артиллерийскую колонну и две колонны автомашин в районе населённого пункта Юзефув, в 5-ти километрах западнее польского города Зволень. 18 января 1945 года в боях за польский город Лодзь И. А. Киселёв лично уничтожил два танка, четыре орудия и несколько солдат противника.
После войны продолжил службу в Вооружённых Силах СССР. В 1949 году окончил командный факультет Военной академии бронетанковых войск и академические курсы при Военной академии имени М. В. Фрунзе. Командовал полком, дивизией. Депутат Верховного Совета СССР в 1950-54 годах.
Постановлением Совета Министров СССР от 25 октября 1967 года полковнику Киселёву Ивану Александровичу присвоено воинское звание «генерал-майор».
В последние годы, перед уходом в отставку в 1981 году, занимал должность заместителя командира корпуса. Жил в городе-герое Москве. Скончался 03.01.2008 года. Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище (участок № 7).
Из наградного листа И.А. Киселёва:
…Командир взвода танков Т-34 3-го т. б-на 65 танковой Волховатской Краснознамённой орд. Суворова бригады 11 ткк, ст. л-нт Киселёв И. А. в период прорыва обороны немцев на плацдарме зап. берега реки Висла, при взятии гор. Радом, Томашув, Лодзь, проявил исключительный героизм и мужество.
15.01.45 г. в р-не Юзефув своим взводом разгромил колонну противника из 15 орудий на марше и две колонны автомашин — до 70 единиц — с военными грузами.
17.01.45 г. в р-не Томашув, будучи в разведке протяжением до 80 км, проявил исключительное мужество и геройство, отлично выполнил поставленную задачу, уничтожив 6 танков противника, 8 бронетранспортеров, 15 орудий полевой артиллерии, 7 зенитных орудий, 22 пулемётные точки и до 180 солдат и офицеров противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 февраля 1945 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом геройство и мужество» старшему лейтенанту Киселёву Ивану Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5157).
Награждён
Имя И. А. Киселева занесено на Доску Почёта Хорошёвского района г. Москвы в 2005 г. В музее Героев-жителей Хорошевского района в школе-интернате № 42 имеется стенд с освещением его ратных и трудовых подвигов.
Киселёв, Иван Александрович (1920—2008) на сайте «Герои страны»