В Красной Армии с 1919 по 1958 годы. Участник Гражданской войны, финской кампании, Великой Отечественной.
Окончил 3-ю пехотную Западную школу в Смоленске (1922—1925). В конце 1930-х окончил Военную академию имени М. В. Фрунзе.
Возглавлял 729-й стрелковый полк 145-й стрелковой дивизии. На фронте с 29 июня 1941 года. В декабре 1941 года принял командование 111-й мотострелковой бригадой.
В октябре 1942 года был назначен командиром 47-й отдельной механизированной бригады нового формирования (переформированной из 111-й мотострелковой бригады), осуществлял ее формирование в Московском танковом лагере (район Костерева).
В отличие от всех остальных механизированных и мотострелковых бригад (мсбр.) 47-я бригада является одной из двух отдельных мотострелковых бригад (наряду с 46-й); в годы войны 47-я стала Духовщинской Краснознаменной Ордена Суворова 2-й степени отдельной механизорованной бригадой. С 01.11.1942г. - 47-я отд.мсбр. на Калининском фронте в составе 41-й Армии, с 01.01.1943г. - 3-й Ударной армии, с 01.10.1943г. - 43-й Армии. В сентябре 1943 года передал командование бригадой подполковнику Михайлову Р.Е.
С ноября 1943 года — в 1-й танковой армии (с 01.05.1944г. - 1 гвардейской танковой армии) на должности заместителя командира 8-го механизированного корпуса, с 03.01.1944г. до конца войны - командир 8-го гвардейского механизированного корпуса (до 23.10.1943г. - 3 механизированный корпус), сменил в этой должности генерал-лейтенанта танковых войск Кривошенина С.М. Генерал-майор танковых войск (1943).
Как командир части и соединения в период с января 1943 года по май 1945 года И. Ф. Дрёмов 25 раз персонально упоминался в приказах Верховного Главнокомандующего СССР И. В. Сталина, и по этому показателю является наиболее выдающимся командиром оперативно-тактического звена вооруженных сил СССР в течение всей Великой отечественной войны; следующий по этому показателю генерал-лейтенант Жеребин, Дмитрий Сергеевич, командир 32-го стрелкового корпуса.
После войны, в 1949 году, Дрёмов окончил Высшие академические курсы при Военной академии Генерального штаба. Командовал объединением.
С 1958 года генерал-лейтенант танковых войск Дрёмов — в запасе. Жил в городе Днепропетровске.
Умер 2 сентября 1983 года, похоронен в Днепропетровске на Аллее Героев Запорожского кладбища.