Родился в Плоцке (Польша), где его отец был правительственным контролёром. В 1843 году он окончил Институт корпуса инженеров путей сообщения.
Сразу после этого был назначен в Южную дирекцию строительства Петербурго-Московской железной дороги. Кёниг быстро зарекомендовал себя и с 1852 года стал начальником I отделения.
В 1863 году был назначен начальником Нижегородской магистрали.
За пять лет почти удвоил её доходы.
По результатам работы перешёл работать на Николаевскую железную дорогу.
После назначения его директором начался золотой период её существования. Среди работников дороги ходила шутка: «Наконец-то мы дождались своего короля!» (имеется в виду перевод с немецкого фамилии руководителя).
С 1868 по 1880 года являлся её директором, при нём были проведены технологические новшества:
Кроме проектов, связанных с Николаевской железной дорогой, И. Ф. Кёниг участвовал в различных комиссиях, связанных с Санкт-Петербургом.
И. Ф. Кёниг пользовался огромным уважением и любовью железнодорожников.
Умер в 1880 году в Санкт-Петербурге, его заслуги перед столицей были отмечены Городской думой, безвозмездно предоставившей после смерти Кёнига в 1880 году место на Преображенском кладбище недалеко от станции Санкт-Петербург-Сортировочный-Московский.
Прах инженера был перезахоронен 24 июля 2001 года в связи с расширением парка прибытия Сортировочной станции, на месте захоронения установлен обелиск, который посвящён памяти строителей магистрали Санкт-Петербург-Москва.
Во время реконструкции был сохранён оригинальный крест, изготовленный в XIX веке из чугунных рельсов.
Этот ход повторил неудачное решение о перезахоронении на станции Любань П. П. Мельникова — начальника Северной дирекции дороги, позже ставшего министром путей сообщения, лишившее его прах заслуженного покоя.