Закончил военно-дирижёрский факультет при Московской консерватории (1942) и Московскую консерваторию (1944, класс гобоя у H. H. Солодуева). В 1939—1959 солист оркестра Большого театра. С 1944 года преподавал в Государственном музыкально-педагогическом институте (ныне Российская академия музыки) им. Гнесиных (c 1963 по ? — заведующий кафедрой духовых инструментов; с 1970 — профессор). Также преподавал в Московской средней специальной музыкальной школе имени Гнесиных, Государственном музыкальном училище (колледже) имени Гнесиных, Московском государственном институте музыки имени Шнитке.
Был членом жюри многих всесоюзных, всероссийских и международных музыкальных конкурсов.
Похоронен (11.08.2010) на Ваганьковском кладбище.
И. Ф. Пушечников впервые в СССР ввёл практику обучения игре на блокфлейте детей младшего возраста (5—7 лет) — в том числе как на «переходном инструменте», то есть в качестве подготовительного этапа к обучению игры на других духовых музыкальных инструментах, при этом создав соответствующую оригинальную методику и учебный репертуар. Участвовал в разработке советской учебной модели блокфлейты (основанной на блокфлейте-сопрано); впервые в СССР организовал экспериментальную группу в школе им. Гнесиных (1972), где обучали игре на этом инструменте. Впоследствии игра на блокфлейте вошла в учебные программы многих советских детских музыкальных школ.
Является автором многочисленных инструктивных пьес (этюдов, упражнений) для гобоя и блокфлейты, обработок и аранжировок для гобоя и фортепиано, блокфлейты и фортепиано, а также оригинальных сочинений (в том числе камерных ансамблей). Автор ряда научно-методических статей.
И. Ф. Пушечников воспитал более 1000 учеников, среди которых — Евгений Непало, Анатолий Любимов, Ольга Томилова, Евгений Изотов, Иван Паисов, Алексей Огринчук, Дмитрий Булгаков, Иван Подъёмов, Дмитрий Дмитриев, Владимир Вяткин.
В данном списке представлены лишь некоторые публикации 2000-х годов. Среди старых изданий учебно-методических пособий И. Ф. Пушечникова, например — «Начальная школа игры на гобое» (1952).