Сын крепостного. В 1815 был принят «вольным пенсионером» в Академию художеств, однако в 1818 был из неё отчислен как не получивший вольной. В 1821 после получения вольной совет Академии присвоил ему звание художника-архитектора. В 1822 Свиязев назначается архитектором Пермского горного правления. Однако недостаточность содержания вынуждает его искать новое место службы. В 1825 он некоторое время служит архитектором в военных поселениях в Новгородской губернии. Далее снова возвращается в горное правление.
В 1832 Свиязев возвратился в Санкт-Петербург и занимался педагогической деятельностью.
В Перми существует улица его имени.
В Перми были построены собственный дом архитектора (1823), две ротонды, училище для детей канцелярских служителей (1825-1829), дом гражданского губернатора (1826), духовная семинария (1826-1841) и др. Свиязев принимал участие в проектировании колокольни Кафедрального собора. Свиязев является автором проектов церкви-ротонды (1834-1837) на Новом кладбище и единоверческой церкви (1834-1837). По его проектам были построены церкви при Билимбаевском, Ревдинском заводах.