Получил образование в гимназии при Петербургской Академии наук, где учился с 1794 года. После окончании гимназии работал корректором в академической типографии и начал давать частные уроки. В 1803 был принят учителем, а затем старшим учителем русского языка в Главном немецком училище св. Петра, где проработал до 1809 года. С 1809 года его должность исполнял Н. И. Греч.
По его мысли в 1801 году совместно с В. В. Попугаевым и Н. И. Гречем было образовано литературное общество, которое впоследствии, после высочайшего утвержденния в 1803 году, стало именоваться «Вольное общество любителей словесности, наук и художеств». С 1803 по 1805 год Борн был председателем этого общества, которое собиралось на его казённой квартире в здании Петришуле. Общество выпускало литературные альманахи, в точ числе «Свиток муз» и «C.-Петербургский вестник». Борн принимал в них самое активное участие, помещая свои статьи и стихотворения.
В 1808 году им было издано «Краткое руководство к Российской словесности» с замечаниями А. X. Востокова — один из самых первых учебников русского языка, заключающий в себе грамматику, краткие правила риторики, пиитики и историю русской литературы.
В 1809 году Борн был приглашён домашним учителем русского языка к принцу Георгию Ольденбургскому, а затем, после его смерти, личным секретарем его вдовы, великой княгини Екатерины Павловны и наставником их детей. После вторичного её брака с наследным принцем вюртембергским Вильгельмом, последовал за ней в Германию; жил в Штутгарте, затем в Ольденбурге. Умер в Штутгарте 13 сентября 1851 года и похоронен на местном кладбище.