Родился в семье плотника в деревне Большие Горки во Владимирской губернии. В 1881 вместе со всей семьёй переселился на Украину. В 1890 переехал в Польшу, которая в это время была в составе Российской империи.
Первоначальное художественное образование получил в Варшаве и Киеве (одновременно служил в должности бухгалтера) в 1890-е.
В 1898 переехал в Москву. В начале 1900-х посещал московские частные студии: Ф. И. Рерберга, В. Фишера, И. И. Машкова.
Важнейшим моментом его биографии была встреча в 1907 с К. С. Малевичем, который оказал колоссальное влияние на дальнейшее развитие художника, ввел его в художественные круги русского авангарда. Это, однако, не помешало Клюну стать членом общества «Московский салон» в 1910 (в 1916 он вышел из общества), в задачи которого входила в основном организация выставок.
В 1900-е, подобно Малевичу, работает в традициях символизма и модерна (несомненно влияние М. А. Врубеля, В. Э. Борисова-Мусатова, Н. Д. Милиотти). В 1913 сближается (через Малевича) с петербургским авангардом в лице членов «Союза молодежи» и участвует в их последней выставке (1913/1914). Как и Малевич, увлекается в это время кубофутуризмом, живописным и скульптурным (последним, вероятно, под влиянием В. Е. Татлина), выставляется на всех авангардных выставках.
В 1915 участвует в создании буклета А. Е. Крученых «Тайные пороки академиков» (М.,1916): ему принадлежат литография и статья «Примитив в 20 столетии». Направленная против символизма и декадентства, эта книга стала последней данью Клюна футуризму. В 1915 уже как последователь малевичевского супрематизма он участвует в «Последней футуристической выставке картин 0,10», публикует в ее каталоге манифест. С этого периода начинается период беспредметного творчества. В 1916 участвует в группе «Супремус», возглавляемой Малевичем, и в неизданном журнале того же названия. Вместе с другими художниками-супрематистами сотрудничает с кустарными артелями в деревнях Вербовка и Скопцы. Этот период его творчества является одним из самых ярких в его жизни.
1918—1921 — профессор ГСХМ-Вхутемаса, с 1920 — член Инхука (Институт художественной культуры), а с 1921 — член-корреспондент ГАХНа.
До середины 1920-х продолжается период беспредметного творчества — Клюн создает цветовые конструкции из геометрических форм. Во второй половине 1920-х начинается увлечение французским искусством — он копирует из журналов произведения П. Пикассо, Ж. Брака, Х. Гриса. Но особенно его привлекает А. Озанфан: вплоть до середины 1930-х он создает натюрморты в духе пуризма.
Член Оста (с 1925), «4-х искусств» (1925—1927) и ОРСа (с 1927).
В начале 30-ых годов, как и большинство советских художников, вынужден был перейти к традиционно-фигуративной живописи, которая не принесла ему успеха.
С конца 1930-х гг. Клюн неожиданно начал писать натюрморты и пейзажи реалистического характера, щедро раздаривая их знакомым.