Родился 25 апреля 1893 года в Сарытау, (ныне — Карагандинская область, Казахстан).
Первые выступления Калибека Куанышпаева относятся к началу 1920-х годов, когда он участвовал в Куяндинской ярмарке недалеко от Семипалатинска в составе «бродячей труппы», в которую входили певцы, борцы, жонглёры, танцоры и другие.
В 1925 году участвовал в создании первого профессионального казахского театра в Кзыл-Орде (ныне Казахский государственный академический театр драмы имени М. О. Ауэзова в Алма-Ате). В 1928 году вместе с этим театром приехал в Алма-Ату и проработал в этой труппе до 1964 года.
Среди его лучших театральных ролей: Нысан Абыз («Енлик — Кебек» М. О. Ауэзова), Танеке («Ночные раскаты» М. О. Ауэзова), Абай («Абай» М. О. Ауэзова и Л. С. Соболева), Кунанбай (по роману «Путь Абая» М. О. Ауэзова), Балуан («Трагедия поэта» Г. М. Мусрепова), Городничий («Ревизор» Н. В. Гоголя), Брабанцио («Отелло» У.Шекспира), Баптиста («Укрощение строптивой» У. Шекспира)..
С 1937 года Калибек Куанышпаев снимался в кино, среди его ролей: Байбол в фильме «Амангельды», Абай в фильме «Песни Абая», Бергалиев в фильме «Золотой рог», Чингиз в фильме «Его время придёт».
Занимался педагогической работой. Писал короткие пьесы, скетчи, юморески, сатирические стихи для радио и эстрады.
В КПСС состоял с 1943 года. Избирался депутатом Верховного Совета СССР 2-4 созывов.
Умер 7 июня 1968 года. Похоронен в Алма-Ате на Центральном кладбище.