К.Альбикер начал своё художественное образование в Академии изящных искусств Карлсруэ, где познакомился и подружился с художником-экспрессионистом Карлом Хофером. Затем учился в 1899—1900 годах в парижской академии Жюлиана и позднее — в мастерской у Антуана Бурделя. В Париже Альбикер также знакомится с Огюстом Роденом, ставшего также учителем немецкого скульптора и творчество которого оказало влияние на работы К.Альбикера.
После возвращения в Германию скульптор живёт в Мюнхене (1902—1903), затем совершает рабочую поездку и некоторое время живёт в Риме (1903—1905). В 1905 возвращается и открывает скульатурную мастерскую в Этлингене. В 1910 году Альбикер получает премию Вилла-Романа, что позволяет ему совершить поездку во Флоренцию.
В 1919 году К.Альбикер становится профессором Высшей художественной школы в Дрезден. Он считался одним из самых уважаемых и талантливых преподавателей в области искусства. В 1927 году он участвует в организации движения Баденский сецессион, в также в Новом Мюнхенском сецессион.
С приходом к власти в Германии национал-социалистов К.Альбикер (как и некоторые другие немецкие известные скульпторы — Рихард Шейбе, Йозеф Вакерле) — участвует в осуществлении ряда архитектурных проектов, создавая монументальные скульптуры для административных и общественных помещений. Работал над перестройкой берлинского Спорт-форума («Reichssportfeld») перед Берлинской олимпиадой (руководитель — архитектор Вернер Марх). К.Альбикер в 1930-е годы входил в жюри конкурса «Немецкое искусство».
Во время Второй мировой войны дом и мастерская скульптора в Берлине погибли во время бомбёжки. В 1947 году он возвращается на родину, в Баден. Здесь он создаёт фонд Карла Альбикера, благодаря которому значительное количество художественных произведений из личного собрания скульптора (в том числе около 80 работ Карла Хофера) было передано в музей города Этингена.