Карл Клаус родился в семье художника. Когда Карлу было четыре года, умер его отец, ещё через два года умерла его мать. В 1810 году он переехал в Санкт-Петербург и стал работать помощником в аптеке. Гимназию Клаус не закончил, но в возрасте 21 года сумел сдать экзамен на аптекаря в Петербургской медико-хирургический академии. Позднее он вспоминал, что стал самым молодым экзаменационным аптекарем в России. После этого, в 1826 году, основал собственную аптеку в Казани.
Лишь в возрасте 32 лет Клаус стал учиться в Дерптском университете; окончил он университет в 1835 году.
В 1827 году Клаус участвовал в качестве помощника профессора Эдуарда Александровича Эверсмана (Эдуарда Фридриха Эверсманна) (1794—1860) в ботанических исследованиях степей между реками Уралом и Волгой. Собранные материалы Клаус использовал в изданной им позже работе «Flora der Wolgagegenden».
В 1834 году Клаус участвовал в качестве ботаника ещё в одной поездке по Заволжским степям — на этот раз сопровождая профессора химии Гёбеля. В 1837—1838 годах их совместная работа была издана в Дерпте (см. раздел Научные труды).
С 1831 года по 1837 год Клаус состоял в должности ассистента при химической лаборатории Дерптского университета. В 1837 году Клаус защитил магистерскую диссертацию, а затем, после успешного прочтения пробной лекции в Санкт-Петербургской медицинско-хирургической академии, занял должность адъюнкта по кафедре химии Казанского университета, а также возглавил химическую лабораторию. С 1839 года Клаус — экстраординарный профессор, а с 1844 года — ординарный профессор кафедры химии.
В 1840 году Клаус, получив из Санкт-Петербурга от монетного двора значительный запас платиновых руд, начал их исследования.
В 1844 году им был открыт в остатках уральской платиновой руды новый химический элемент, который он назвал рутением (от позднелатинского Ruthenia — Россия).
Клаус смог получить рутений в чистом виде, изучил его химические свойства и определил атомный вес. Именно Клаус впервые указал на сходство между триадами рутений — родий — палладий и осмий — иридий — платина. За открытие рутения Клаусу была присуждена Демидовская премия.
Известно, что Клаус довольно халатно относился к своему здоровью и нередко пробовал на вкус вещества, с которыми ему предстояло работать; в частности, крепость кислот он нередко определял, опуская палец в раствор и затем дотрагиваясь им до языка. Когда Клаус впервые получил тетраоксид осмия OsO4 (сильно токсичное вещество), он писал, что «вкус у этого соединения острый, перцеподобный…»; позже, в апреле 1845 года, Клаус отравился парами тетраоксида осмия и на две недели был вынужден прекратить работы. Известно также о сильном ожоге ротовой полости, который Клаус получил, пробуя на вкус одно из соединений открытого им рутения.
В 1852 году Клаус переехал из Казани обратно в Дерпт, заняв в Дерптском университете должность профессора фармации.
Клаус был женат на Эрнестине Батэ, с которой был знаком с юности. Они поженились в 1821 году, вместе переехали в Казань, где у них родились трое дочерей.
Российский ботаник Пётр Яковлевич Корнух-Троцкий (1803—1877), возглавлявший кафедру ботаники в Казанском университете, назвал в честь Клауса род растений из семейства Капустные — Clausia Korn.-Trotzky (1839) (Клауcия).