Родился в семье известного композитора, дирижёра и музыкального педагога Карла Альбрехта, который в начале 1840-х годов переехал в Российскую империю. С 1854 играл на виолончели в оркестре Большого театра, позднее познакомился с Петром Чайковским, впоследствии посвятившим ему свою Серенаду для струнного оркестра C-dur, и Николаем Рубинштейном, вместе с которым принимал участие в организации Русского музыкального общества и Московской консерватории. После её открытия в 1866 году был принят на должность инспектора, а также преподавал пение и теорию музыки (до 1889). Будучи энтузиастом хорового пения, Альбрехт стал одним из основателей Московского хорового общества (1878), написал брошюру «Руководство к хоровому пению по циферной методе Шеве».
Под редакцией Альбрехта были изданы камерные сочинения Бетховена, Гайдна, Моцарта, Мендельсона, Шуберта, а также полный тематический каталог вокальных произведений Михаила Глинки. Он также является авторов ряда романсов для голоса и фортепиано.