Манне Сигбан родился в семье станционного смотрителя шведской железной дороги Нильса Рейнхольда Георга Сигбана и его жены Эммы Софии Матильды (ур. Цеттенберг). В 1906 году Сигбан поступил в университет Лунда, который он окончил в 1911 году защитой докторской диссертации по теме «Измерение магнитного поля». Уже с 1907 по 1911 год Сигбан работал ассистентом профессора Иогана Ридберга. После защиты диссертации Сигбан стал доцентом и в 1915 году — профессором. После смерти Ридберга в 1919 году Сигбан занял его кафедру. В 1923 году Сигбан перешёл в Упсальский университет и в 1937 году стал профессором-исследователем в Королевской Шведской Академии Наук. С 1938 по 1947 год Сигбан — президент международного союза чистой и прикладной физики (IUPAP).
В 1914 году Сигбан женился на Катрин Хёгбом. Отец двух сыновей: Бо (род. 1915), сделавшего карьеру дипломата, и Кая, ставшего физиком и получившего в 1981 году Нобелевскую премию.
С 1908 по 1912 год Сигбан работал над задачами в области электричества и магнетизма. Затем его интерес переместился в область рентгеновской спектроскопии. Он предложил улучшения в схеме и методике эксперимента, которые привели к заметному увеличению точности измерений и позволили (совместно с развивавшейся в то время квантовой механикой) получить полное понимание оболочечной структуры электронной оболочки атома. В 1923 году Сигбан выпустил монографию «Спектроскопия рентгеновского излучения», в которой были собраны все результаты его работы и которая стала классическим примером научной литературы. В 1924 году Сигбан был удостоен Нобелевской премии по физике.
После перехода в академию наук Сигбан занялся ядерной физикой и инициировал построение циклотрона для ускорения дейтронов, генератора высокого напряжения, многих бета-спектрометров и одного электронного микроскопа. При помощи этого оборудования его институт занял одно из ведущих мест в исследовании атомного ядра и процессов радиоактивного излучения.