Дедушка Эри Класа, Герман Клас-Гласс (Herman Klas-Glass) родился в Дерпте (ныне Тарту) в 1874 году в многодетной еврейской семье. Учился игре на виолончели в Ревеле (ныне Таллин), а затем в Берлине. В Варшаве Герман Клас-Гласс познакомился со своей будущей женой, певицей Станиславой Фрухтман, которая родила ему пятерых сыновей, среди которых и отец Эри Класа — Эдуард.
Второй дедушка, Йоссель Гуревич, обучался в Вене хормейстерскому искусству, а по окончании учёбы нашёл работу в Риге в качестве школьного учителя пения и руководителя школьного хора. В Риге Йоссель Гуревич женился и у него родились две дочери — Анна (1912) и Йемима. Анна, мать Эри Класа, в 1931 году закончила Таллинскую консерваторию и поступила в Берлинскую высшую школу музыки, но в связи с приходом фашистов к власти в Германии в 1933 году была вынуждена прекратить учёбу и вернуться в Эстонию.
В Таллине Анна Гуревич вышла замуж за Эдуарда Класа, выпускника Пражской высшей технической школы. 7 июня 1939 года в семье родился единственный ребёнок — Эри. Анна Клас, успевшая летом 1941 года вместе с двухгодовалым Эри эвакуироваться в Россию, растила сына одна, так как её мобилизованный в Красную Армию муж, не успев отступить до прихода нацистов, попал в немецкий плен и был немедленно расстрелян вместе с другими евреями.
Эри Клас закончил Таллинское музыкальное училище, а затем — Таллинскую консерваторию (в 1964 году). Стажировался в Ленинградской консерватории у профессора Н. С. Рабиновича и в Большом театре у профессора Б. Э. Хайкина.
Дирижёрскую карьеру начал в Театре оперы и балета «Эстония» в Таллине и в Большом театре в Москве, с которым сотрудничал более 10 лет. Был главным дирижёром Шведской королевской оперы (1985—1989), Симфонического оркестра г. Орхуса (Дания), Симфонического оркестра Радио Нидерландов и художественным руководителем Тампереского филармонического оркестра. Работал более чем со 100 симфоническими оркестрами из 40 стран мира, среди них филармонические оркестры Берлина, Гамбурга, Мюнхена, Лос-Анджелеса, Токио, Сиднея, Чикаго, Кливленда, Бостона и Монреаля. Был руководителем симфонического оркестра города Беер-Шева (Израиль). В течение 30-ти лет работал в Театре оперы и балета «Эстония», 20 из которых был художественным руководителем и главным дирижером (с 1975 года).
С 2003 года сотрудничает с Московским театром Новая Опера им. Е. В. Колобова, где дирижирует спектаклями и концертными программами, в 2006—2011 годах — главный дирижер театра.
Является художественным руководителем Таллинской филармонии и первым приглашенным дирижёром Финской национальной оперы.
Среди осуществлённых записей — произведения Альбана Берга, Филипа Гласса, Джона Корильяно, Ларса-Эрика Ларссона, Эйноюхани Раутаваары, Эркки Салменхаары, Эдуарда Тубина, Альфреда Шнитке, Эйнара Энглунда.
Постоянно работал с молодыми музыкантами, возглавлял юношеские оркестры в Скандинавии и Ирландии, в Америке и Азии. В 1993—1997 годы — профессор дирижерского факультета Академии Сибелиуса в Хельсинки, в настоящее время продолжает свою преподавательскую деятельность в качестве профессора Эстонской академии музыки и театра.
В 1966—1968 годы был женат на оперной певице и актрисе эстонско-испанского происхождения Нивес Лепп (урождённая Нивес Реди) и от этого брака имеет дочь Диану (род. 1967). Диана Клас — актриса и певица, у неё два сына, дочь и внучка Сандра (род. 2009) — правнучка Эри Класа.
В течение двадцати лет был женат на балерине и актрисе Юлле Улла (эст. ?lle Ulla, род. 1934).
С 1992 года женат на Ариэль (род. 1952). Ариэль Клас, в прошлом преподаватель игры на фортепиано, а ныне предприниматель, имеет дочерей от первого брака — Ангелику Клас-Фагерлунд (род. 1974) и Марион Мельник (род. 1982), обе — финские оперные певицы.