Родился в берлинском районе Темпельхоф в простой семье выходцев из Восточной Пруссии, младший из пятерых детей, рос без отца. Фамилия Воверайт балтийского (древнепрусского) происхождения и значит «бельчонок».
В 1973 году окончил школу имени Ульриха фон Гуттена (нем. Ulrich-von-Hutten-Oberschule), затем изучал право в Свободном университете Берлина. В это же время вступил в ряды Социал-демократической партии Германии (СДПГ). В 1979 году защитил юридический государственный экзамен, после чего начал работу при сенаторе внутренних дел в Берлине. В 1981 году защитил второй государственный экзамен.
С 1984 по 1994 годы был муниципальным советником по образованию и культуре берлинского района Темпельхоф. В 1995 году избран в городской парламент Берлина, став заместителем председателя фракции СДПГ. В 1999 году был переизбран и стал председателем городской парламентской фракции СДПГ.
16 июня 2001 года избран правящим бургомистром Берлина. Переизбран на этот пост в 2006 году. На этой должности Клаус Воверайт активно работал в области культуры и туризма (в частности над проведением Чемпионат мира по футболу в 2006 году и Берлинского кинофестиваля). В результате чего Берлин стал третьим по посещаемости туристами европейским городом после Парижа и Лондона. В то же время за период его правления экономические показатели города ухудшились.
С 2001 по 2002 год был председателем бундесрата, с этим периодом деятельности связан скандал о принятии закона о иммиграции. Активно поддерживает инициативы движения за права сексуальных меньшинств.
В немецкой прессе иногда упоминается как будущий потенциальный кандидат от СДПГ на пост канцлера Германии.
Клаус Воверайт открыто заявил о своей гомосексуальной ориентации в ходе выборов 2001 года. Его фраза «Я гей, и это хорошо!» (нем. Ich bin schwul und das ist auch gut so) стала в Германии крылатым выражением. В русскоязычной прессе встречаются также и другие варианты перевода этой фразы — «Я гей, и хорошо, что это так» и «Я гей, ну и ладно!», существенно отличающиеся друг от друга смысловой нагрузкой).
Воверайту также принадлежит авторство крылатой характеристики Берлина как «бедный, но сексуальный» (нем. Arm, aber sexy).
С 1993 года живёт с нейрохирургом Йорном Кубицки (нем. J?rn Kubicki).
Кавалер Большого креста ордена За заслуги перед Итальянской Республикой (2006).