1978 год — окончил Калининградское высшее военно-морское училище.
С 1978 года начал офицерскую службу с должности помощника командира корабля — командира штурманской боевой части базового тральщика (БТЩ) «Алтайский комсомолец» Таллинской военно-морской базы, затем был назначен командиром БТЩ «Комсомолец Эстонии».
С 1983 года по 1998 год последовательно занимал должности начальника штаба и командира дивизиона тральщиков военно-морской базы г. Балтийск, начальника штаба и командира соединения кораблей охраны водного района, начальника штаба — первого заместителя командира соединения кораблей Ленинградской военно-морской базы.
1989 год — окончил Военно-морскую академию им. Маршала Советского Союза А. А. Гречко (в будущем Военно-морская академия им. Н. Г. Кузнецова).
1998—2001 — начальник штаба Балтийской военно-морской базы;
2003 год — окончил Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил Российской Федерации.
С 2003 года по 2005 год — командир Балтийской военно-морской базы.
С 2005 года — начальник штаба Балтийского Флота.
Указом Президента Российской Федерации № 917 от 17 июля 2007 года и соответствующим приказом Министра обороны Российской Федерации № 834 от 18 июля 2007 года назначен командующим Черноморским флотом.
В период 2007—2010 годов, когда флот находился под управлением Клецкова, произошёл ряд широко освещаемых в прессе событий:
2 июля 2010 года А. Д. Клецков освобожден от должности командующего Черноморским флотом по причине достижения предельного возраста нахождения военачальника в звании вице-адмирала (генерал-лейтенант) в российской армии (в августе этого года ему исполнится 55 лет). Эта новость встретила неоднозначную реакцию обозревателей, так как в формулировке приказа есть определённые несоответствия возраста Клецкова и возраста его замены.