Футбольную карьеру начал в 14 лет в юношеской команде клуба «Рот-Вайсс» из его родного Эрфурта. Через два года в клубе начались финансовые проблемы и футбольная школа была закрыта. Клеменс продолжил занятия в Лейпциге, в футбольной школе местного клуба «Лейпциг», но через год он вновь вернулся в Эрфурт, где стал выступать за молодёжную команду красно-белых. С 1999 года Фриц стал привлекаться к играм основной команды и за два сезона провел 57 матчей и забил 14 мячей.
В 2001 году молодого защитника пригласили в выступавший тогда во второй бундеслиге «Карлсруэ». В этот клуб он перешёл вместе Марко Энгельхардтом, своим другом и также воспитанником «Рот-Вайсс». Оба футболиста регулярно появлялись в основном составе, в «Карлсруэ» Клеменс Фриц провёл 61 матч и забил 7 мячей.
В 2003 году он заключил контракт с «Байером» из Леверкузена. 9 ноября 2003 года Фриц провёл свой первый матч в Бундеслиге. Летом 2004 года он получил серьёзную травму и смог вернуться на поле лишь в марте 2005 года, выйдя на поле в матче против «Ливерпуля» в рамках розыгрыша Лиги Чемпионов. В сезоне 2005—2006 Фриц смог закрепиться в качестве игрока основного состава «Байера».
В 2006 году Клеменс Фриц перешёл в бременский «Вердер», где вскоре также стал основным правым защитником команды, вытеснив из состава игрока сборной Германии Патрика Овомойелу.
Дебют в национальной команде состоялся 7 октября 2006 года в матче против сборной Грузии, а 2 июня 2007 года в матче со сборной Сан-Марино Фриц провёл свой первый гол. Всего в 2006—2007 гг. Клеменс Фриц провёл 11 матчей за главную сборную Германии.